개념 한 쪽
공조냉동기계기사 위상의 시간표현 — 각주파수·리액턴스·역률·위상차
이 세트는 정현파 교류의 위상과 시간 표현을 다룬다. 각주파수에서 주파수를 구하는 법, 90도 앞선 전류의 식, 인덕턴스의 리액턴스와 전류, 코일에 축적되는 에너지, 직렬회로의 어드미턴스와 공진주파수, 유효전력과 피상전력의 관계가 중심이다.
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뜻
정현파의 식 v=141sin(377t-π/6)에서 377은 각주파수 ω다. ω=2πf이므로 f=377÷(2π)로 약 60Hz다. 377은 60Hz의 각주파수, 314는 50Hz의 각주파수로 기억하면 계산이 빠르다.
위상이 90도 앞선다는 것은 sin(ωt+90°)를 뜻하고, 이는 cosωt와 같다. 그래서 i=Im sinωt보다 90도 앞선 전류는 Im cosωt로 쓴다.
인덕턴스의 유도성 리액턴스는 XL=2πfL이다. 377mH에 60Hz를 걸면 2π×60×0.377로 약 142Ω이고, 200V를 이 값으로 나누면 전류는 약 1.4A다. 단위를 H로 바꾸는 것을 잊으면 값이 1000배 어긋난다.
코일에 축적되는 에너지는 1/2×L×I²이다. 20mH에 50V, 60Hz를 걸면 XL은 2π×60×0.02로 약 7.54Ω이고 전류는 50÷7.54로 약 6.63A다. 이를 넣으면 0.5×0.02×6.63²로 약 0.44J이다. 전류가 5배가 되면 에너지는 제곱에 비례하므로 25배가 된다.
직렬회로의 임피던스는 R+j(XL-XC)다. R=4Ω, XL=9Ω, XC=6Ω이면 Z=4+j3이고, 어드미턴스는 그 역수다. 켤레복소수를 곱해 유리화하면 (4-j3)÷(4²+3²)=0.16-j0.12℧가 된다.
공진주파수는 f=1/(2π√LC)다. 100mH와 10㎌이면 √(0.1×10×10⁻⁶)=10⁻³이므로 1÷(2π×10⁻³)로 약 159Hz다.
유효전력과 피상전력은 역률로 이어진다. 피상전력은 유효전력을 역률로 나눈 값이다. 유효전력 80kW, 역률 80%이면 80÷0.8=100kVA다. 피상전력은 유효전력보다 작아지지 않으므로 나눈다는 방향을 기억하면 부호와 곱셈을 헷갈리지 않는다.
예제
출제 패턴은 네 가지다. ① 각주파수·위상 — ω=377이면 약 60Hz이고, 90도 앞선 전류는 Im cosωt다. ② 리액턴스 — XL=2πfL이며, 377mH·60Hz이면 약 142Ω, 전류는 약 1.4A다. ③ 에너지 — W=1/2LI²이며, 20mH·6.63A이면 약 0.44J이고 전류 5배면 25배다. ④ 임피던스·전력 — Y=1/Z로 0.16-j0.12℧, 공진은 약 159Hz, 피상전력은 80÷0.8=100kVA다.
자주 묻는 물음
- 정현파 식에서 주파수와 앞선 위상은 어떻게 구하나요?
- 식의 t 앞 계수가 각주파수 ω이므로 f=ω÷2π로 바꾼다. ω=377이면 약 60Hz다. 90도 앞선 전류는 sin(ωt+90°)이고 이는 cosωt와 같아 Im cosωt로 표시한다.
- 인덕턴스의 전류와 축적 에너지는 어떻게 구하나요?
- XL=2πfL로 리액턴스를 구한 뒤 I=V÷XL로 전류를 낸다. 377mH·60Hz·200V이면 XL이 약 142Ω이라 전류는 약 1.4A다. 에너지는 1/2×L×I²이며, 20mH에 6.63A가 흐르면 약 0.44J다.
- 어드미턴스·공진주파수·피상전력은 어떻게 구하나요?
- 어드미턴스는 임피던스의 역수이며, Z=4+j3이면 0.16-j0.12℧다. 공진주파수는 1/(2π√LC)이고 100mH·10㎌이면 약 159Hz다. 피상전력은 유효전력을 역률로 나누어 80kW÷0.8=100kVA다.
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