개념 한 쪽
토목기사 부정정구조물의 해법 — 곡률 R=EI/M과 에너지·물성 관계식
해법 세트는 풀이에 실제로 넣는 관계식을 묻는다. 처짐곡선의 곡률반지름 R=EI/M, 탄성변형에너지 U=½kx², 전단탄성계수 G=E/2(1+ν), 세장비 λ=L/r이 계산 도구이고, 그 바탕에는 선형 탄성에서만 성립하는 겹침의 원리가 있다.
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뜻
바탕이 되는 원리부터 확인한다. 겹침의 원리는 여러 하중이 동시에 작용할 때 각 하중의 효과를 더할 수 있다는 원리이고, 선형 탄성 범위에서만 성립한다. 비선형 거동에서는 쓸 수 없으므로, 이 원리를 적용하기 전에 재료가 선형 범위에 있는지부터 본다.
변형을 푸는 도구는 곡률반지름이다. R=EI/M이고, 폭 20cm·높이 30cm 직사각형 단면은 I=bh³/12=45,000cm⁴다. 최대 휨모멘트 2tonf·m(200,000kgf·cm)에 E=100,000kgf/cm²를 넣으면 R=22,500cm, 곧 225m가 된다. cm로 나온 값을 m로 바꾸지 않으면 오답이 된다. 길이 10m 단순보 중앙에 집중하중 P=2tonf가 작용하는 경우에는 최대 휨모멘트가 PL/4이므로 R=4EI/PL 꼴로 넣어 16.8m가 된다.
에너지로 푸는 자리도 있다. 탄성변형에너지는 하중을 제거하면 회복되는 에너지이고 U=½kx²다. 변형량을 일정하게 두면 강성 k가 클수록 쌓이는 에너지도 커진다. 캔틸레버 보 끝에 집중하중 P가 작용할 때 굽힘에 의한 탄성변형에너지는 P²L³/6EI다.
물성 관계식은 계산의 마무리에서 쓰인다. 전단탄성계수는 G=E/2(1+ν)로, E=2.1×10⁶kgf/cm²에 ν=0.25를 넣으면 분모가 2.5가 되어 8.4×10⁵kgf/cm²다. 포아송비는 종변형률과 횡변형률의 비로, 1.14×10⁻³을 3.42×10⁻⁴으로 나누면 0.3이 된다. 안정을 다루는 자리에서는 세장비 λ=L/r을 쓰고, 좌굴이 일어나는 약축의 회전반경을 기준으로 삼는다. 기둥의 임계하중은 크릴러 공식으로 구하고 안전율로 나누어 허용하중을 정한다.
해법의 도구는 더 있다. 베티의 법칙은 두 하중계가 서로의 변위에 하는 가상일이 같다는 법칙이다. 응력집중은 단면이 급변하는 곳에서 응력이 커지는 현상으로, 연성재료는 항복으로 응력이 재분배되어 그 효과가 작다. 직사각형 단면의 최대전단응력은 평균전단응력의 1.5배이고, I형 단면은 전단력을 주로 웹이 받아 중앙부가 최대가 아니다.
예제
출제 패턴은 여섯 가지다. ① 물성 계산 — 2(1+ν)를 2로만 나눠 버린 값이 오답이다. ② 곡률반지름 — 단면 2차모멘트 계산 오류나 cm→m 환산 누락이 오답으로 이어진다. ③ 원리 서술 — 겹침의 원리의 성립 범위를 뒤집거나, 강성과 에너지의 관계를 뒤집은 서술이 오답이다. ④ 세장비·좌굴 — 약축 대신 큰 변을 써서 값을 작게 만든 선지나, 안전율을 곱해 허용하중을 낸 값이 오답이다. ⑤ 베티·응력집중 — 베티의 법칙 정의를 뒤집거나, 연성재료의 응력집중이 취성재료보다 크다고 적은 선지가 오답이다. ⑥ 전단응력 분포 — 직사각형 단면의 최대전단응력을 평균의 1.5배가 아닌 값으로 적거나, I형 단면의 중앙부가 최대라고 적은 선지가 오답이다.
자주 묻는 물음
- 곡률반지름 공식과 계산에서 주의할 점은 무엇인가요?
- R=EI/M입니다. 폭 20cm·높이 30cm 단면(I=45,000cm⁴)에 최대 휨모멘트 2tonf·m, E=100,000kgf/cm²를 넣으면 22,500cm, 곧 225m가 됩니다. 결과가 cm로 나오면 m로 바꾸는 단계를 빠뜨리지 않아야 합니다.
- 전단탄성계수는 어떻게 구하나요?
- G=E/2(1+ν)입니다. E=2.1×10⁶kgf/cm², ν=0.25이면 분모 2(1+0.25)=2.5이므로 8.4×10⁵kgf/cm²가 됩니다. 분모를 2로만 나눈 값이 단골 오답입니다.
- 해법의 바탕이 되는 원리와 그 성립 조건은 무엇인가요?
- 겹침의 원리이고, 선형 탄성 범위에서만 성립합니다. 여러 하중의 효과를 각각 구해 더할 수 있다는 원리이므로, 소성이나 큰 변형으로 비선형이 되면 적용할 수 없습니다.
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