개념 한 쪽
토목기사 응력과 변형률 — 훅의 법칙·포아송비·체적변형률
응력과 변형률 세트는 훅의 법칙과 탄성상수의 관계를 계산으로 묻는다. 2차원 응력 상태에서는 σx=E(εx+νεy)/(1-ν²), 체적변형률은 세 방향 변형률의 합, 전단탄성계수는 G=E/2(1+ν)로 구한다.
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뜻
2차원 응력 상태에서는 후크의 법칙에 분모가 붙는다. σx=E(εx+νεy)/(1-ν²)이고, E=2×10⁶kg/cm², εx=2.67×10⁻⁴, εy=6.07×10⁻⁴, ν=0.3을 넣으면 분자가 898.2, 분모가 1-0.3²=0.91이 되어 σx≈987kg/cm²가 된다. 분모 (1-ν²)를 빠뜨리거나 포아송비 적용을 잘못한 값이 오답이다.
체적변형률은 세 방향 변형률을 더한 값, 곧 ev=εx+εy+εz다. 이축응력 상태라도 z방향 변형률을 함께 고려해야 하고, z방향을 빼먹거나 포아송비의 부호를 뒤집은 계산이 오답이 된다.
전단탄성계수는 탄성상수 관계식으로 구한다. G=E/2(1+ν)이고, E=2.1×10⁶kg/cm²에 ν=0.25를 넣으면 분모가 2.5라 8.4×10⁵kg/cm², 같은 E에 ν=0.3을 넣으면 분모가 2.6이라 약 8.1×10⁵kg/cm², E=2.3×10⁶kg/cm²에 ν=0.35를 넣으면 분모가 2.7이라 8.5×10⁵kg/cm²가 된다. 분모 2(1+ν)를 2로만 나눈 값이 단골 오답이다.
포아송비로 지름 변화를 구하는 계산도 나온다. 지름 5cm 강봉을 8t으로 당기면(포아송비 0.3, 탄성계수 2.1×10⁶kg/cm²) 순서가 고정된다 — 단면적 A≈19.63cm², 응력 σ=P/A≈407.4kg/cm², 종변형률 ε=σ/E≈1.94×10⁻⁴, 횡변형률 ε'=νε≈5.82×10⁻⁵, 지름 변화 Δd=d·ε'≈0.00029cm다. 포아송비를 곱하는 단계를 빼먹거나 면적을 잘못 잡은 값이 오답이다.
전단 변형량은 전단응력을 전단탄성계수로 나눈 뒤 길이를 곱한다. 길이 20cm·단면 20cm×20cm인 부재에 100t의 전단력이 작용하고 G=80,000kg/cm²이면 전단응력이 250kg/cm², 전단변형률이 0.003125이므로 변형량은 0.0625cm가 된다.
예제
출제 패턴은 네 가지다. ① 2차원 후크 — 분모 (1-ν²)를 빼먹은 값이 오답이다. ② 탄성상수 계산 — 분모를 2로만 나누거나 2+v로 잘못 잡은 값이 오답이다. ③ 연쇄 계산 — 응력→종변형률→횡변형률→치수 변화의 순서에서 포아송비 적용을 건너뛴 값이 오답이다. ④ 체적변형률 — z방향 변형률을 무시한 값이 오답이다.
자주 묻는 물음
- 2차원 응력 상태의 후크의 법칙은?
- σx=E(εx+νεy)/(1-ν²)입니다. E=2×10⁶kg/cm², εx=2.67×10⁻⁴, εy=6.07×10⁻⁴, ν=0.3을 넣으면 약 987kg/cm²가 됩니다. 분모 (1-ν²)를 빠뜨리면 오답이 됩니다.
- 전단탄성계수는 어떻게 구하나요?
- G=E/2(1+ν)입니다. E=2.1×10⁶kg/cm², ν=0.25이면 8.4×10⁵kg/cm², ν=0.3이면 약 8.1×10⁵kg/cm²입니다. 분모 2(1+ν)를 2로만 나눈 값이 단골 오답입니다.
- 포아송비를 이용해 지름 변화를 구하는 순서는?
- 응력 σ=P/A → 종변형률 ε=σ/E → 횡변형률 ε'=νε → 지름 변화 Δd=d·ε' 순입니다. 지름 5cm 강봉을 8t으로 당기면 약 0.00029cm 줄어듭니다. 포아송비를 곱하는 단계를 빼먹으면 오답입니다.
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