개념 한 쪽
토목기사 탄성계수 — G=E/2(1+ν)와 탄성상수 관계
탄성계수 세트는 세 탄성상수 E·G·ν의 관계식 하나로 모인다. 전단탄성계수는 G=E/2(1+ν)로 구하고, 여기에 2차원 후크의 법칙과 포아송비에 의한 지름 변화, 전단 변형량 계산이 함께 붙는다.
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뜻
탄성계수는 응력을 변형률로 나눈 값, 곧 E=σ/ε다. 여기에 가로 변형과 세로 변형의 비인 포아송비 ν, 그리고 전단에 대한 저항을 나타내는 전단탄성계수 G가 짝을 이룬다.
세 상수를 잇는 식이 G=E/2(1+ν)이다. E=2.1×10⁶kg/cm²에 ν=0.25를 넣으면 분모가 2.5라 8.4×10⁵kg/cm², 같은 E에 ν=0.3을 넣으면 분모가 2.6이라 약 8.1×10⁵kg/cm², E=2.3×10⁶kg/cm²에 ν=0.35를 넣으면 분모가 2.7이라 8.5×10⁵kg/cm²다. 분모를 2로만 나누거나 2+v로 잡은 값이 오답이고, ν가 0.5인 비압축성 재료에서는 G=E/3이 된다. G는 E의 약 40% 정도라는 어림으로 답의 크기를 점검할 수 있다.
실측값에서 상수를 거꾸로 구하는 문항도 있다. 지름 20mm·길이 3m 연강 원축에 3000kg을 작용시켜 길이가 1.4mm 늘고 지름이 0.0027mm 줄었으면, 포아송비는 횡변형률을 종변형률로 나눠 구하고 탄성계수는 응력을 종변형률로 나눠 구한 뒤 G=E/2(1+ν)에 넣어 약 7.94×10⁵kg/cm²를 얻는다.
같은 세트에는 응력과 변형률 계산도 함께 나온다. 2차원 응력 상태에서는 σx=E(εx+νεy)/(1-ν²)로 E=2×10⁶kg/cm², εx=2.67×10⁻⁴, εy=6.07×10⁻⁴, ν=0.3일 때 약 987kg/cm²가 되고, 체적변형률은 세 방향 변형률의 합 ev=εx+εy+εz다. 지름 5cm 강봉을 8t으로 당기면(포아송비 0.3, 탄성계수 2.1×10⁶kg/cm²) 응력→종변형률→횡변형률→지름 변화 순으로 계산해 약 0.00029cm 줄어들고, 길이 20cm·단면 20cm×20cm인 부재에 100t 전단력이 작용하면 전단 변형량은 (V/A)/G×L로 0.0625cm가 된다.
예제
출제 패턴은 세 가지다. ① 상수 변환 — 분모 2(1+ν)를 잘못 계산하거나 E와 G의 관계를 뒤집은 값이 오답이다. ② 역산 — 실측 변형률에서 포아송비와 탄성계수를 거쳐 G를 구하는 단계를 건너뛴 값이 오답이다. ③ 연쇄 계산 — 지름 변화에서 포아송비 적용을 빼먹거나, 체적변형률에서 z방향 변형률을 무시한 값이 오답이다.
자주 묻는 물음
- 전단탄성계수와 탄성계수·포아송비의 관계는?
- G=E/2(1+ν)입니다. E=2.1×10⁶kg/cm², ν=0.25이면 8.4×10⁵kg/cm², ν=0.3이면 약 8.1×10⁵kg/cm²입니다. G는 E의 약 40% 정도이고, ν가 0.5이면 G=E/3이 됩니다.
- 실측 변형률에서 전단탄성계수를 구하는 순서는?
- 횡변형률을 종변형률로 나눠 포아송비를 구하고, 응력을 종변형률로 나눠 탄성계수를 구한 뒤, G=E/2(1+ν)에 넣습니다. 지름 20mm·길이 3m 연강 원축 예에서는 약 7.94×10⁵kg/cm²가 나옵니다.
- 체적변형률은 어떻게 구하나요?
- 세 방향 변형률의 합, 곧 ev=εx+εy+εz입니다. 이축응력 상태라도 z방향 변형률을 함께 고려해야 하며, z방향을 빼먹거나 포아송비 부호를 뒤집으면 오답이 됩니다.
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