개념 한 쪽
카르노 사이클은 가역 등온 팽창과 가역 단열 팽창, 가역 등온 압축과 가역 단열 압축으로 이루어진 이상적인 열기관 사이클이다. 열효율은 고온 열원과 저온 열원의 절대온도만으로 정해지며 작동 물질과는 무관하다. 단열 과정은 엔트로피가 변하지 않고 등온 압축에서는 열을 방출해 엔트로피가 감소한다.
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출제기준 단원 「카르노사이클」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 밀폐용기 압력 계산 | 1 | 밸브로 이어진 두 용기가 이르는 압력 값 구하기 |
| 용기 기체 압력 계산 | 1 | 닫힌 용기 속 기체의 압력 수치 구하기 |
| 카르노 효율 계산 | 1 | 두 열원 사이에서 도는 열기관의 이론 효율 산출 |
카르노 사이클은 네 과정으로 구성된다. 두 개의 등온 과정과 두 개의 단열 과정이 각각 팽창과 압축으로 짝을 이루며, 마찰이나 열손실이 없는 가역 사이클이다. 등압 과정은 들어 있지 않다. 사이클 전체가 가역이므로 이상적인 열기관의 기준이 되고, 실제 열기관의 효율은 이 값보다 클 수 없다.
카르노 열기관의 효율은 고온 열원의 절대온도와 저온 열원의 절대온도로만 결정된다. 효율은 1에서 저온 열원 온도를 고온 열원 온도로 나눈 값을 빼서 구한다. 고온이 800K이고 저온이 300K이면 300을 800으로 나눈 0.375를 1에서 빼서 0.625, 곧 62.5퍼센트가 된다. 온도는 반드시 절대온도로 넣어야 한다.
효율에서 온도를 역산할 수도 있다. 저온 열원이 300K이고 효율이 70퍼센트라면, 300을 고온 열원 온도로 나눈 값이 0.3이 되어야 하므로 고온 열원 온도는 300을 0.3으로 나눈 1000K가 된다. 효율이 높아질수록 필요한 고온 열원 온도는 빠르게 높아진다. 효율을 퍼센트 그대로 넣으면 계산이 어긋난다.
엔트로피 변화는 과정의 종류로 갈린다. 단열 과정은 열의 출입이 없으므로 엔트로피 변화가 0이다. 단열압축은 엔트로피가 변하지 않는다. 반면 등온압축은 부피가 줄어드는 동안 온도를 일정하게 유지하려고 열을 외부로 방출하므로 엔트로피가 감소한다. 단열과 등온의 열교환 여부를 먼저 확인하면 엔트로피 변화의 방향이 정해진다.
카르노 효율은 작동 물질과 무관하다. 같은 두 열원 사이에서 작동한다면 어떤 기체를 쓰더라도 이상적인 카르노 사이클의 효율은 절대온도 비로만 정해진다. 압력이나 부피 같은 조건도 효율의 값 자체를 바꾸지 않는다. 이 성질 때문에 카르노 사이클은 열기관 효율의 상한을 논할 때 기준으로 쓰인다.
사이클을 계산하려면 각 상태의 압력과 온도와 질량을 상태방정식으로 잡아야 한다. 온도가 같은 두 용기를 연결해 섞으면 각 용기의 압력과 부피의 곱을 더한 값을 전체 부피로 나누어 최종 압력을 구한다. 100 kPa과 1m³, 330 kPa과 2m³를 합치면 760을 3으로 나눈 약 253 kPa이 된다. 압력의 단순 평균과는 다른 값이다.
일정 부피와 일정 온도에서는 압력이 질량에 비례한다. 같은 용기와 같은 온도에서 이산화탄소가 3 kg일 때 약 554 kPa이고 6 kg일 때 약 1108 kPa이 되어 질량이 2배가 되면 압력도 2배가 된다. 밀폐 용기에서 4 kg 중 1 kg을 방출해 3 kg이 남으면 압력은 처음 500 kPa의 4분의 3인 375 kPa이 된다.
부피가 일정한 용기에서 온도가 변하면 압력은 절대온도에 비례한다. 타이어의 게이지압력 183 kPa은 대기압 101.3 kPa을 더해 절대압력 284.3 kPa로 바꾸고, 20℃의 293K에서 80℃의 353K로 가면 284.3에 353을 293으로 나눈 비를 곱해 약 342.5 kPa이 된다. 상승량은 약 58 kPa이다. 게이지압력만 비교하거나 섭씨를 그대로 쓰면 답이 어긋난다.
정압 과정의 열량은 정압비열을 써서 질량과 온도 변화의 곱으로 구한다. 압력이 일정할 때 체적이 2배가 되면 절대온도도 2배가 되므로, 온도 변화를 먼저 구한 뒤 열량을 계산한다. 체적 변화비를 온도 변화비로 바꾸는 단계를 빠뜨리면 열량이 달라진다.
판단은 절대온도와 과정의 종류에서 갈린다. 카르노 사이클은 가역 등온 두 과정과 가역 단열 두 과정으로 이루어지고, 800K와 300K 사이의 효율은 62.5퍼센트다. 저온 300K에서 효율 70퍼센트를 얻으려면 고온이 1000K이어야 한다. 단열압축은 엔트로피 변화가 0이고 등온압축은 엔트로피가 감소한다. 등온 혼합 100 kPa과 1m³, 330 kPa과 2m³의 최종 압력은 약 253 kPa이고, 같은 조건에서 이산화탄소 3 kg은 약 554 kPa, 6 kg은 약 1108 kPa이다. 4 kg에서 1 kg을 방출하면 375 kPa이고, 타이어가 20℃에서 80℃로 오르면 압력 상승은 약 58 kPa이다.
두 개의 견고한 밀폐용기 A, B가 밸브로 연결되어 있다. 용기 A에는 온도 300K,압력100kpa의 공기1m³,용기B에는 온도300K, 압력 330kPa의 공기 2m³가 들어 있다. 밸브를 열어 두 용기 안에 들어있는 공기(이상기체)를 혼합한 후 장시간 방치하였다. 이 때 주위온도는 300K로 일정하다. 내부 공기의 최종 압력은 약 몇 kPa 인가?
정답 ④ · 밸브로 연결된 두 밀폐용기의 공기를 등온 혼합했을 때 최종 압력을 구하는 문제이다. 주위온도가 300K로 일정하므로 혼합 후에도 온도는 300K로 유지되며, 이상기체 상태방정식 PV = mRT에서 T와 R이 일정하면 PV는 질량에 비례한다.
이상기체 상태방정식과 질량 보존 법칙을 이용해 혼합 후 전체 체적과 총 질량으로 최종 압력을 계산한다.
온도가 20℃인 이산화탄소 3kg이 체적 0.3m³인 용기에 가득 차 있다. 가스의 압력은 몇 kPa 인가? (단, 이산화탄소는 기체상수가 189J/kgㆍK인 이상기체로 가정한다.)
정답 ④ · 이상기체 상태방정식으로 용기 내 가스의 압력을 구하는 문제이다. 상태방정식 PV=mRT를 압력에 대해 정리하면 P=mRT/V가 된다.
이상기체 상태방정식 PV=mRT를 변형한 P=mRT/V 공식을 사용하여 압력을 계산한다.
카르노 사이클로 작동하는 열기관이 800K의 고온 열원과 300K의 저온 열원 사이에서 작동할 때 이 열기관의 효율은?
정답 ③ · 카르노 사이클 열기관의 고온·저온 열원 온도가 주어졌을 때 이론 효율을 계산하는 문제이다. 카르노 효율은 η=1-(T_L/T_H)로 구하며, 온도는 반드시 절대온도를 사용한다.
카르노 열기관의 효율은 η=1-(T_low/T_high) 공식으로 계산한다.
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