개념 한 쪽
이상기체의 상태방정식은 압력과 부피의 곱이 질량과 기체상수와 절대온도의 곱과 같다는 관계다. 질량이나 기체상수나 압력을 구할 때는 식을 변형하고, 온도는 반드시 절대온도로, 압력은 같은 단위로 맞춘다. 등온에서는 압력과 부피가 반비례하고, 정압에서는 부피와 절대온도가 비례하며, 폴리트로픽 과정에서는 지수로 온도 변화를 구한다.
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출제기준 단원 「이상기체의 상태방정식」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 기체상수 계산 | 1 | 상태량 수치로 기체상수 구하기 |
| 초기온도 계산 | 1 | 밀도가 그대로일 때의 처음 온도 구하기 |
| 다변과정 일 계산 | 1 | 닫힌계의 과정에서 한 일 구하기 |
상태방정식의 기본 꼴은 PV = mRT다. 압력을 킬로파스칼, 부피를 세제곱미터, 기체상수를 킬로줄 단위로 쓰면 압력과 부피의 곱이 바로 킬로줄이 되어 단위가 맞는다. 질량을 구할 때는 m = PV/RT, 압력을 구할 때는 P = mRT/V, 기체상수를 구할 때는 R = PV/mT로 변형한다. 질량 5 kg, 압력 200 kPa, 부피 1.2m³, 온도 25℃인 기체의 기체상수는 298K를 넣어 약 0.161 kJ/kg·K가 된다.
질량이 변하는 문제는 두 상태의 질량을 각각 구해 차이를 낸다. 부피 0.3m³인 일정 용기에서 300 kPa과 400K이던 공기가 200 kPa과 350K이 되면, 처음 질량은 약 0.784 kg, 나중 질량은 약 0.597 kg이다. 빠져나간 질량은 그 차이인 약 187g이 된다. 압력이 낮아진 것만 보고 질량이 줄었다고 단정하지 말고 두 상태를 모두 계산한다.
등온 과정에서는 압력과 부피의 곱이 일정하다. 1m³에서 200 kPa이던 기체를 3m³ 용기로 옮기면 압력은 200을 3으로 나눈 약 66.7 kPa이 된다. 부피가 커지면 압력은 작아지고, 부피가 작아지면 압력은 커지는 반비례 관계다.
정압 과정에서는 부피가 절대온도에 비례한다. 0℃의 기체는 273K이므로 부피가 2배가 되려면 절대온도가 546K가 되어야 하고, 이를 섭씨로 바꾸면 273℃가 된다. 정압 과정의 일은 압력과 부피 변화량의 곱이며, 상태방정식을 쓰면 기체상수와 온도 변화의 곱으로도 나타낼 수 있다. 온도가 T에서 6T로 오르면 온도 변화가 5T이므로 일은 5Pv가 된다.
밀도가 일정하다는 조건은 압력과 절대온도의 비가 일정하다는 뜻이다. 압력이 10퍼센트 낮아져 0.9배가 되고 온도가 30℃ 내려갔는데 밀도가 변하지 않았다면, 0.9를 (T−30)으로 나눈 값이 1을 T로 나눈 값과 같아진다. 이를 풀면 절대온도 300K가 되고 섭씨로는 27℃다.
폴리트로픽 과정에서는 온도와 압력의 관계로 최종 온도를 구한다. PV^n이 일정할 때 T2 = T1 × (P2/P1)^((n−1)/n)이다. 100 kPa과 300K에서 300 kPa까지 압축하고 지수가 1.3이면, 지수 부분이 약 0.23이 되어 최종 온도는 약 390K이 된다. 지수가 1.4이고 압력이 4배가 되면 지수 부분이 약 0.286이 되어 300K에서 약 446K이 된다.
기하학적 비례가 붙는 문제도 상태방정식으로 정리한다. 풍선의 압력이 지름에 비례하고 부피가 지름의 세제곱에 비례하면, 압력과 부피의 곱은 지름의 네제곱에 비례한다. 온도도 같은 비율로 변하므로, 지름이 0.3m에서 0.4m로 커지면 298K에 3분의 4의 네제곱을 곱해 약 942K, 곧 약 669℃가 된다. 지름비를 부피비로 착각하면 답이 달라진다.
판단은 절대온도와 비례 관계에서 갈린다. 200 kPa과 1.2m³와 5 kg과 298K에서 기체상수는 약 0.161 kJ/kg·K이고, 0.3m³ 용기에서 300 kPa과 400K에서 200 kPa과 350K로 가면 빠져나간 질량이 약 187g이다. 1m³의 200 kPa을 3m³로 옮기면 약 66.7 kPa이고, 0℃에서 부피가 2배가 되는 온도는 273℃다. 0.1m³ 용기에 1 kg의 공기를 넣고 300K로 두면 압력은 861 kPa이다. 지수 1.3으로 100 kPa에서 300 kPa까지 압축하면 약 390K, 지수 1.4로 4배 압축하면 약 446K이며, 풍선 지름이 0.3m에서 0.4m로 커지면 약 942K가 된다.
어떤 이상기체 5kg이 압력 200kPa, 온도 25℃ 상태에서 체적 1.2m³을 나타낸다면 기체상수는 약 몇 kJ/kgㆍK 인가?
정답 ① · 이상기체 상태방정식 PV = mRT를 이용하여 기체상수 R을 구합니다. R = PV/(mT)에 대기압을 절대압력(kPa)으로 변환하고 각 수치 P=200kPa, V=1.2m³, m=5kg, T=25+273.15=298.15K를 대입하면, R = (200 × 1.2) / (5 × 298.15) ≒ 0.1609 kJ/kg·K가 되어 약 0.161이 됩니다.
이상기체 상태방정식 PV=mRT에서 R=PV/mT에 값을 대입하면 약 0.161이 나온다.
어떤 이상기체의 압력이 10% 낮아지고 온도가 30℃내려갔을 때 밀도 변화가 없다면 초기온도는 몇 ℃인가?
정답 ① · 이상기체 상태방정식 밀도 ρ=P/(RT)를 이용합니다. 밀도 변화가 없으려면 P1/(R×T1) = P2/(R×T2)가 되어야 합니다.
이상기체 밀도 불변 시 P/T 비례, 0.9P/(T-30)=P/T 식에서 절대온도 300K(27℃)가 성립한다.
압력 P1 = 100kPa, 온도 T1 = 300K, 체적 V1 = 1.0m³인 밀폐계(closed system)의 이상기체가 PV1.3 = 일정인 폴리트로픽 과정(polytropic process)을 거쳐 압력 P2 = 300kPa까지 압축된다면 최종상태의 온도 T2는 대략 얼마인가?
정답 ② · 폴리트로픽 과정(PV^n = 일정)에서 온도와 압력의 관계식은 T2/T1 = (P2/P1)^((n-1)/n) 입니다. 주어진 값 P1=100kPa, P2=300kPa, T1=300K, n=1.3을 대입하면 T2/300 = (300/100)^((1.3-1)/1.3) = 3^(0.3/1.3) ≒ 3^0.2307 ≒ 1.2997 입니다.
폴리트로픽 과정의 온도-압력 관계식 T2=T1(P2/P1)^((n-1)/n)에 주어진 수치를 대입하여 계산하면 최종 온도를 구할 수 있다.
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