개념 한 쪽
가역 사이클의 효율을 다루려면 사이클을 이루는 가역 과정의 일과 온도 변화를 먼저 계산해야 한다. 가역 단열 팽창에서는 압력비와 비열비로 온도가 정해지고, 등온 팽창에서는 자연로그를 써서 일을 구한다. 실제 기체는 압축성 인자로 보정하고, 혼합 기체는 성분마다 상태방정식을 적용한다.
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출제기준 단원 「가역 사이클 효율」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 엔탈피 계산 | 1 | 상태 변화 전후의 엔탈피 값 구하기 |
| 기체운동론 서술 | 1 | 분자 운동에 대한 설명 중 옳은 것 |
| 기체상수 역산 | 1 | 압축인자로 물질의 기체상수 구하기 |
가역 단열 과정에서는 엔트로피가 변하지 않고 온도와 압력의 관계가 지수 법칙을 따른다. 최종 온도는 처음 온도에 압력비의 (비열비−1)/비열비 제곱을 곱해 구한다. 50℃의 기체를 600 kPa에서 100 kPa까지 비열비 1.4로 가역 단열 팽창시키면, 323.15K에 6분의 1의 약 0.286 제곱을 곱해 약 194K가 된다. 섭씨를 그대로 넣으면 안 된다.
등온 팽창에서 계가 한 일은 질량과 기체상수와 절대온도와 체적비의 자연로그를 곱해 구한다. 질량 3 kg, 기체상수 287 J/kg·K, 온도 323K에서 체적이 4배가 되면, 자연로그 4가 약 1.386이므로 일은 약 385 kJ이 된다. 로그 항을 빠뜨리거나 체적비 대신 체적을 넣으면 답이 달라진다.
폴리트로픽 과정에서 지수가 1이면 등온 과정이다. 압력과 부피의 곱이 일정해지므로 온도가 변하지 않고, 보일의 법칙을 따르는 것과 같다. 지수가 0이면 정압, 비열비이면 단열, 무한대이면 정적이므로 지수 하나로 과정의 이름이 정해진다.
이상기체라는 가정 위에서 계산이 성립한다. 이상기체는 분자 자체의 체적을 무시하고, 분자 사이에 인력이나 척력이 작용하지 않으며, 분자가 충돌할 때 에너지 손실이 없는 완전 탄성충돌을 한다고 본다. 실제 기체의 복잡한 상호작용을 단순화한 모델이므로, 실제 기체에 적용할 때는 보정이 필요하다.
상태방정식으로 압력을 구하는 계산은 사이클의 각 상태를 잡는 기본이다. 압력은 질량과 기체상수와 절대온도의 곱을 부피로 나누어 구한다. 0.1m³ 용기에 공기 1 kg을 넣고 300K로 두면, 0.287 kJ/kg·K를 곱해 861 kPa이 된다. 기체상수를 킬로줄 단위로 쓰면 압력이 킬로파스칼로 바로 나온다.
혼합 기체의 성분을 역산할 때도 상태방정식을 쓴다. 공기 0.2m³가 100 kPa과 400K이면 질량이 약 0.174 kg이고, 전체 질량이 0.7 kg이면 미지 기체의 질량은 약 0.526 kg이다. 미지 기체가 150 kPa과 450K에서 0.3m³를 차지하면 기체상수는 약 190 J/kg·K가 된다. 질량 합에서 공기 질량을 먼저 빼는 순서가 핵심이다.
실제 기체는 압축성 인자로 보정한다. 압축성 인자는 압력과 비체적의 곱을 기체상수와 절대온도의 곱으로 나눈 값이고, 비체적은 이를 변형해 구한다. 압축성 인자 0.9232, 기체상수 0.46151 kJ/kg·K, 2 MPa과 250℃이면 비체적이 약 0.1114 m³/kg이 된다. 프로판처럼 압축성 인자 0.55, 기체상수 0.1886 kJ/kg·K, 7 MPa과 150℃인 경우에는 비체적이 약 0.00627 m³/kg이 된다.
엔탈피 변화는 내부에너지 변화와 압력과 비체적의 곱의 변화를 더해 구한다. 내부에너지 변화가 0이면 엔탈피 변화는 압력과 체적의 곱의 변화만 남는다. 50 kPa과 2m³에서 1000 kPa과 0.2m³로 가면 곱이 100 kJ에서 200 kJ로 늘어 엔탈피 증가량은 100 kJ이다.
판단은 지수와 로그와 단위에서 갈린다. 600 kPa과 323.15K에서 100 kPa까지 비열비 1.4로 가역 단열 팽창하면 약 194K이고, 3 kg과 323K에서 체적이 4배가 되는 등온 팽창의 일은 약 385 kJ이다. 지수 1은 등온 과정이다. 0.1m³에 1 kg과 300K이면 압력은 861 kPa이고, 공기 질량 0.174 kg을 전체 0.7 kg에서 빼면 미지 기체의 기체상수가 약 190 J/kg·K가 된다. 압축성 인자 0.9232에서는 비체적이 약 0.1114 m³/kg, 0.55에서는 약 0.00627 m³/kg이고, 내부에너지 변화가 없는 상태 변화의 엔탈피 증가량은 100 kJ이다.
어떤기체 1 kg이 압력 50 kPa, 체적 2.0m³의 상태에서 압력 1000 kPa, 체적 0.2m³의 상태로 변화하였다. 이때 내부에너지의 변화가 없다고 하면 엔탈피(enthalpy)의 증가량은 몇 kJ인가?
정답 ① · 엔탈피(h)는 내부에너지(u)와 체적(v)과 압력(p)의 곱의 합(h = u + pv)으로 정의됩니다. 내부에너지의 변화가 없으므로 Δu = 0이며, 엔탈피 증가량 Δh는 Δ(pv)와 같습니다.
엔탈피 변화량 Δh는 내부에너지 변화 Δu와 압력-체적 변화 Δ(pv)의 합이며, Δu=0일 때 Δh=Δ(pv)이다.
이상기체의 운동론에 대한 다음의 설명 중 옳은 것은?
정답 ① · 이상기체 운동론의 가정에 대한 설명 중 옳은 것을 묻는 문제이다. 이상기체 분자운동론은 분자 자신의 체적은 무시할 수 있을 만큼 작다고 가정하므로 1번이 옳다.
이상기체 분자운동설의 가정은 분자 체적 무시, 완전 탄성충돌, 분자간 힘 무작용이다.
견고한 밀폐 용기 안에 어떤 물질 1kg이 압력 2MPa, 온도는 250℃ 상태에 있으며 압축성 인자(Z=Pv/RT) 값은 0.9232이다. 이 물질의 기체상수가 0.46151kJ/kgㆍK일 때 용기의 체적은 약 몇 m³인가?
정답 ③ · 압축성 인자(Z) 공식은 Z = Pv / RT 로 표현됩니다. 이를 통해 비체적(v)을 구하면 v = ZRT / P 가 됩니다.
압축성 인자 공식을 변형한 v=ZRT/P에 값을 대입하여 비체적을 구하고 질량을 곱하면 체적이 나온다.
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