개념 한 쪽
연속방정식 세트는 질량 보존이 축이다. 유입 질량과 유출 질량이 같다는 법칙을 수식화한 것이 연속방정식 Q=AV=const이고, 압축성까지 고려하면 ρ₁A₁V₁=ρ₂A₂V₂다. 지름이 절반이면 단면적은 1/4이고 속도는 그만큼 커져야 한다 — 단면적과 속도의 역비례 계산이 이 세트의 정형 문항이다.
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출제기준 단원 「연속방정식」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 운동량 식 선택 | 1 | 프로펠러 추진력을 나타내는 식 고르기 |
| 단위 판별 | 1 | 점성계수의 단위로 옳은 것 고르기 |
| 속도수두 계산 | 1 | 오리피스 유출 속도를 속도계수로 환산한 수두 |
정의부터 잡는다. 질량 보존의 법칙(유입 질량=유출 질량)을 수식으로 나타낸 것이 연속방정식이다 — 상태방정식은 압력·온도·밀도 관계, 운동량방정식은 힘과 가속도, 에너지방정식은 에너지 보존이므로 질량 보존과 직접 연결되는 것은 연속방정식뿐이다. 비압축성 유체에서는 부피 유량 Q=AV가 일정하고, 밀도가 변하면 질량 유량 ρAV가 일정하다.
계산은 비율로 한다. 지름 200mm 관이 100mm로 줄고 밀도가 1.06배로 커진 흐름에서 ρ₁A₁V₁=ρ₂A₂V₂를 쓰면 단면적비는 지름 제곱비 (200/100)²=4이므로 4V₁=1.06V₂, V₁=20 m/s를 대입해 V₂=80/1.06≈75.5 m/s다(지름 비를 제곱하지 않거나 밀도 변화를 무시하면 오답). 수도꼭지에서 내려오는 물줄기가 아래로 갈수록 가늘어지는 현상도 속도가 커지면 단면적이 줄어야 하는 연속방정식과 속도가 커지면 압력이 낮아지는 베르누이방정식의 조합으로 설명한다.
같은 세트에 운동량·점성 항목이 섞여 나온다. 프로펠러 추진력은 운동량 변화율로 F=ρQ(u₂−u₀) — 질량 유량은 밀도 ρ를 쓰고 비중량 γ를 쓰면 단위가 맞지 않아 오답이다. 전단응력은 τ=μ(du/dy)로 속도분포를 미분해 구한다 — u=u₀sin(ky)면 du/dy=ku₀cos(ky), 표면(y=0)에서는 cos(0)=1이므로 τ=μku₀. 점성계수의 단위는 전단응력을 속도구배로 나눈 [힘][시간]/[길이]², 즉 N·s/m²=dyne·s/cm²이고, 뉴턴 유체는 전단응력과 속도구배의 비(점도)가 일정한 유체다(점도가 0인 것은 이상유체).
출제 패턴은 세 가지다. ① 법칙-방정식 매칭 — 질량보존=연속방정식, 에너지보존=베르누이방정식. ② 비율 계산 — 단면적은 지름 제곱비, 밀도 변화는 곱해 보정(75.5 m/s 꼴). ③ 함정 — 밀도 대신 비중량을 쓴 F=γQ(u₂−u₀), 질량 단위 kg를 힘 단위처럼 쓴 점성계수 보기, 단면적을 지름 비로만 잡은 계산이 단골 오답이다.
프로펠러에서 상류의 유속을 u0, 하류의 유속을 u2라 하면 그 추진력 F는 얼마인가? (단, 유체의 밀도와 유량 및 비중량을 ρ, Q, γ라 한다.)
정답 ① · 프로펠러 추진력은 운동량 이론에 근거하여 구합니다. 운동량 방정식에 의하면 추진력 F는 단위 시간당 운동량 변화율과 같으며, 유체의 밀도를 ρ, 체적 유량을 Q, 하류와 상류의 유속 차이를 (u2-u0)라 할 때, F = ρQ(u2 - u0)로 표현됩니다.
프로펠러 추진력은 운동량 변화율로, 밀도×유량×속도변화인 F=ρQ(u2-u0)로 표현된다.
점성계수의 단위 중에서 옳은 것은?
정답 ① · 점성계수(동점성계수가 아닌 절대점성계수)의 단위를 고르는 문제이다. 점성계수는 전단응력을 속도구배로 나눈 것으로 μ = τ/(du/dy)이므로 그 차원은 [힘][시간]/[길이]²이다.
점성계수(동점성계수 제외)의 단위는 전단응력(N/m²)을 속도구배(1/s)로 나눈 값인 N·s/m² 또는 dyne·s/cm²이다.
뉴턴 유체의 특성을 가장 옳게 설명한 것은?
정답 ④ · 뉴턴 유체의 정의를 묻는 문제이다. 뉴턴 유체는 전단응력 τ와 속도구배 du/dy가 정비례하여 그 비인 점도 μ가 일정한 유체를 말한다.
뉴턴 유체는 전단응력과 속도구배의 비, 즉 점도가 일정한 유체를 말한다.
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