개념 한 쪽
베르누이방정식 세트는 에너지 보존과 운동량 보존을 계산에 적용하는 것이 축이다. 물줄기가 아래로 갈수록 가늘어지는 원리, 관 단면이 넓어질 때 유속이 줄어드는 연속방정식, 점성계수에서 동점성계수를 구하는 단위 환산, 차원이 다른 물리량 찾기, 180도 곡관에 작용하는 힘, 펌프의 축동력과 토크, 탱크에서 공기가 빠져나갈 때 밀도 변화율, 움직이는 평판에 부딪히는 제트의 힘, 프로펠러 추진력, 파이프 압력 분포를 지배하는 힘이 한 묶음으로 나온다. 베르누이인지 운동량방정식인지 먼저 가른다.
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출제기준 단원 「베르누이방정식」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 전단응력 계산 | 1 | 속도분포를 미분해 벽면 전단응력 구하기 |
| 무차원 수 판별 | 1 | 단위를 가지는 양을 무차원 수가 아닌 것으로 고르기 |
| 동점성계수 계산 | 1 | 점성계수를 밀도로 나눈 동점성계수 구하기 |
속도와 압력의 관계가 출발점이다. 베르누이방정식은 유체의 속도가 빨라지면 그 부분의 정압이 낮아진다는 관계를 준다. 수도꼭지 물줄기가 아래로 갈수록 가늘어지는 현상은 속도가 빨라질수록 단면적이 줄어드는 연속방정식과, 속도가 빨라질수록 압력이 낮아지는 베르누이방정식을 함께 써서 설명한다.
연속방정식은 단면적과 유속의 반비례를 준다. 안지름 2.5cm 관이 7.5cm 관으로 이어지면 지름비가 1:3이므로 단면적은 9배가 되고, 비압축성 정상류에서 큰 관의 평균유속은 작은 관의 9분의 1이 된다. 지름비를 그대로 속도비로 쓰면 3분의 1이라는 오답이 된다.
단위 환산과 차원도 같은 세트에 나온다. 동점성계수는 점성계수를 밀도로 나눈 값이므로, 점성계수 0.7 poise(0.07 Pa·s)와 비중 0.7(밀도 700 kg/m³)을 넣으면 1.0×10⁻⁴ m²/s, 곧 1 stokes가 된다. 차원을 비교할 때 압력·응력·탄성계수는 모두 면적당 힘(N/m²)으로 같지만 동력은 일률(W)이라 차원이 다르다.
힘을 묻는 문항은 베르누이가 아니라 운동량방정식 소관이다. 180도 곡관에 작용하는 힘은 유체의 운동량이 반대 방향으로 바뀌는 양으로 계산해 F = 2ρAV² 꼴이 되고, 내경 50mm·5m/s 조건에서 약 98.2N이다. 움직이는 평판에 부딪히는 제트의 힘은 상대속도를 써서 F = ρA(V제트 − V평판)²이고, 프로펠러 추진력은 질량유량과 속도 증가량의 곱 F = ρQ(u2 − u0)이다. 파이프 안 점성유체의 압력 분포는 관성력과 점성력의 균형, 곧 레이놀즈 수로 지배된다.
펌프와 탱크 문제는 다른 식을 쓴다. 펌프의 축동력은 Ps = ρgQH/η로 구하고, 토크는 Ps = Tω 관계로 되짚는다. 탱크에서 공기가 단면적을 통해 빠져나갈 때 탱크 내 밀도의 시간 변화율은 연속방정식과 질량보존으로 구한다. 높이 h까지 올라가는 분수는 V = √(2gh)로 노즐 속도를 정하고 Q = AV로 유량을 잇는다.
출제 패턴은 네 가지다. ① 원리 조합 — 물줄기 수축은 연속방정식과 베르누이방정식의 조합으로 설명한다. ② 단면비 계산 — 지름이 3배면 단면적은 9배, 유속은 9분의 1이다. ③ 힘의 식 — 곡관·평판 제트·프로펠러는 운동량방정식으로 계산하며, 베르누이 식을 그 자리에 넣은 선지가 오답이다. ④ 단위·차원 — 동점성계수는 점성계수를 밀도로 나누어 stokes로, 동력만 차원이 다른 물리량으로 고른다.
수도꼭지로부터 흘러내리는 물줄기가 밑으로 갈수록 가늘게 되는 이유를 설명하는데 가장 적합한 두 가지 원리는?
정답 ② · 수도꼭지 물줄기가 아래로 갈수록 가늘어지는 현상을 설명하는 두 원리를 고르는 문제이다. 물이 낙하하면서 중력에 의해 위치에너지가 운동에너지로 바뀌어 속도가 점점 커지는 것은 베르누이 방정식으로 설명된다.
안지름 2.5cm인 관이 안지름 7.5cm인 관에 직접 연결 되어 있다. 이 관속을 비압축성 유체가 정상적으로 유동할 때, 2.5cm관내의 평균유속이 V라면 7.5cm관내의 평균 유속은?
정답 ③ · 관의 지름이 달라질 때 연속 방정식에 따라 비압축성 유체의 유속을 구하는 문제이다. 연속 방정식 A1V1=A2V2=일정이므로 유속은 단면적에 반비례하고, 단면적은 지름의 제곱에 비례한다.
연속 방정식에 따라 단면적의 제곱비에 반비례하여 속도가 변한다.
점성계수가 0.7 poise이고 비중이 0.7인 유체의 동점성계수는 몇 strokes 인가?
정답 ② · 점성계수와 비중이 주어졌을 때 동점성계수를 stokes 단위로 구하는 문제이다. 동점성계수는 ν=μ/ρ로 정의된다.
동점성계수는 점성계수를 밀도로 나눈 값이며, 비중과 단위 변환을 통해 스토크스 단위로 환산해야 한다.
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