개념 한 쪽
면적측량은 도면 축척과 거리 관측의 오차가 면적값에 어떻게 전파되는지 이해하는 것이 핵심이다. 폐트래버스의 면적 계산에는 배횡거(D.M.D) 개념을 사용한다. 면적의 정확도는 길이 측정의 상대오차가 제곱 차원으로 증폭된다는 점을 이용한다.
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출제기준 단원 「면적측량」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 배횡거 성질 판별 | 1 | 배횡거 정의와 성질 중 틀린 설명을 고르기 |
| 면적의 상대오차 계산 | 1 | 거리 정확도 K로부터 정사각형 면적의 정확도를 구하기 |
| 측정단위 경계값 계산 | 1 | 면적 목표 오차를 만족시키기 위한 한 변의 측정 허용치 구하기 |
배횡거(D.M.D)는 폐트래버스 같은 닫힌 다각형의 면적을 계산할 때 각 측선마다 정의하는 보조값이다. 임의의 측선 배횡거는 '앞측선 배횡거 + 앞측선 경거 + 자기 경거'로 계산한다. 경거는 앞뒤로 두 번 더해지는 성질이 있다. 배횡거 성질 중 시발측선 배횡거는 경거와 같고 마지막 측선 배횡거는 부호가 반대인 경거가 된다는 점을 기억해야 한다.
배면적은 각 측선의 배횡거와 위거(남북 성분)의 곱을 모두 합한 값으로 구한다. 즉 Σ(배횡거×위거) = 배면적이라는 관계가 성립한다. 배횡거법 문제에서는 이 네 가지 성질 중 하나를 틀리게 제시한 선지를 찾아내는 유형이 자주 출제된다고 이해한다.
거리 관측의 정확도 K는 '거리에 대한 상대오차'를 의미한다. 정사각형처럼 면적이 길이의 제곱으로 표현되는 경우 면적의 상대오차는 길이 상대오차의 2배가 된다. 일반적으로 길이가 n차원(예: 면적=2차원, 체적=3차원)이면 상대오차는 n배로 증가한다는 원리를 적용한다.
축척 문제에서는 길이는 축척 분모에 비례하지만 면적은 분모의 제곱에 비례한다는 점을 사용한다. 따라서 도면 축척을 잘못 적용하면 면적은 축척비의 제곱만큼 오르내린다는 사실을 항상 확인해야 한다.
1) 면적의 상대오차 계산 예시 정사각형 한 변의 길이 상대정확도가 K이면 면적 S = L²에서 오차전파를 적용하면 dS/S = 2·(dL/L) = 2K가 된다. 따라서 거리 관측 정확도 K가 주어지면 면적의 정확도는 정확히 2K가 된다.
2) 면적 목표 정밀도를 만족시키는 길이 측정 단위 계산 예시 정사각형 면적이 2500m²일 때 한 변은 50m이다. 면적 오차 한계를 0.2m²로 정하면 오차전파 dA = 2L·dL에 L=50m, dA=0.2m²를 대입해 dL = 0.2/(2×50) = 0.002m = 2mm가 된다. 따라서 한 번의 측정에서 2mm 단위까지 정확히 재야 면적 오차 조건을 만족한다.
다음 중 면적측량에서 폐트래버스의 면적을 계산할때에 이용되는 배횡거(D.M.D)에 관한 설명으로 틀린 것은?
정답 ① · 폐트래버스 면적 계산에 쓰이는 배횡거의 성질 중 틀린 것을 찾는 문제이다. 임의의 측선에 대한 배횡거는 하나 앞 측선의 배횡거에 하나 앞 측선의 경거와 해당 측선의 경거를 합산하여 구하는 것이지 위거를 더하는 것이 아니다.
배횡거 공식은 DMD＝앞측선 배횡거＋앞측선 '경거'＋자기 '경거' — 위거를 더하면 오답.
정사각형의 면적을 관측하기 위하여 거리 관측을 실시한 결과의 정확도가 K라고 할 때, 면적 측량의 정확도는 얼마인가? (단, K는 전체거리 분의 오차거리를 나타낸 것이다. 예를 들어 정확도 K=1/1000 은 1000m 거리에서 ±1m 오차가 있을 수 있다는 뜻이다.)
정답 ② · 정사각형의 변 거리 관측 정확도가 K일 때 면적 측량의 정확도를 구하는 문제이다. 정사각형의 면적 S는 한 변의 길이 a에 대해 S = a의 제곱으로 표현된다.
정사각형 면적 S=a²이므로 오차 전파에 의해 면적의 상대오차(정확도)는 거리의 2배, 즉 2K이다.
정사각형의 면적을 관측하기 위하여 거리 관측을 실시한 결과의 정확도가 K라고 할 때, 면적 측량의 정확도는?
정답 ② · 정사각형의 한 변의 길이를 L이라고 하고, 거리 관측의 정확도(상대오차)를 K라고 할 때 면적(A=L²)의 정확도를 구하는 과정은 다음과 같습니다. 오차전파의 법칙에 의해 면적의 절대오차는 2L * (L * K) = 2L²K가 되며, 이를 전체 면적 L²로 나누면 면적의 상대정확도가 도출됩니다.
면적 A=L²의 상대오차는 변의 상대오차 K의 2배, 즉 2K다(오차전파 법칙).
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