개념 한 쪽
체적측량은 길이·너비·높이 등 측정값의 곱으로 구하며, 오차는 각 항의 상대오차가 결과에 어떻게 전파되는지로 판단한다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기 회원용
가입 없이 오늘의 10문제 바로 풀기 →
출제기준 단원 「체적측량」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 곱의 오차전파 판단 | 1 | 곱으로 이루어진 체적의 상대오차 전파 결과를 묻는 유형 |
| 면적-길이 오차 역산 | 1 | 주어진 면적 허용오차로부터 한 변의 허용 길이오차를 미분으로 역산하기 |
| 면적 정확도와 거리정밀도 | 1 | 면적 목표에서 삼변법 사용 시 요구되는 거리 관측정밀도의 최대값을 결정하기 |
체적은 가로·세로·높이의 곱으로 나타내며 V = x·y·z 형태를 따른다 한다. 곱으로 이루어진 물리량의 상대오차는 각 인자의 상대오차를 합산하는 방식으로 전파가 근사적으로 이루어진다 한다. 따라서 각 변의 상대오차가 모두 K이면 체적의 상대오차는 K+K+K = 3K가 된다 한다.
면적도 같은 원리가 적용되며, 정사각형의 경우 A = x²이므로 미소오차 관계 dA = 2x·dx를 쓴다 한다. 따라서 허용되는 면적오차에서 길이의 허용오차를 역으로 계산할 때는 미분 관계를 이용해 dx = dA/(2x) 형태로 구한다 한다. 예컨대 한 변이 10m인 정사각형에서 면적 오차 0.2m²를 허용하면 길이 오차 한계는 0.01m가 된다 한다.
삼변법과 삼사법 등 면적 산출 방법에 따라 오차 전파의 민감도가 달라진다 한다. 특히 삼변법(세 변의 길이로 헤론공식 적용)은 면적 오차가 거리 오차의 제곱에 비례하는 특성을 보이므로 동일한 면적 정확도를 얻기 위해 거리측정에서 훨씬 높은 정밀도가 요구될 수 있다 한다. 따라서 요구 면적 상대오차를 거리 정확도로 환산할 때는 전파 관계를 정확히 파악해야 한다 한다.
체적·면적 문제는 전파법칙과 미분 근사라는 두 가지 패턴으로 해결한다 한다. 곱셈형 물리량에는 상대오차의 합 규칙을 적용하고, 거듭제곱 형태(A = x^n)에는 dA = n·x^(n-1)·dx 공식을 이용해 길이 오차를 역산한다 한다.
1) 체적의 상대오차 계산 예: 세 변의 상대오차가 모두 K일 때 V = x·y·z이므로 상대오차는 dV/V ≈ dx/x + dy/y + dz/z = K+K+K = 3K이므로 체적관측의 정도는 3K가 된다 한다.
2) 정사각형 면적에서 길이 오차 역산 예: 면적이 100m²인 정사각형의 한 변 x = 10m이고 허용 면적오차 dA = 0.2m²이면 dA = 2x·dx 이므로 dx = dA/(2x) = 0.2/(2×10) = 0.01m = 1cm가 된다 한다.
가로가 20m, 세로가 15m인 사각형의 면적계산에서 상대 오차를 1/1000이내로 하기 위해서 각 변장의 제한오차는 얼마인가? (단, 변장의 측정정밀도는 동일함)
정답 ① · 사각형 면적 계산에서 상대오차 1/1000 이내를 만족하는 각 변장의 제한오차를 구하는 문제이다. 면적 S = ab의 상대오차는 dS/S ≈ da/a + db/b로 근사된다.
면적 오차 전파법칙에 따라 각 변의 허용 오차를 계산한다.
체적측량에 있어서 관측된 수평 및 수직거리 x, y, z의 거리오차를 dx, dy, dz라 하고 거리관측의 정도가 K로 동일하다고 할 때, 다음 중 체적관측의 정도는?
정답 ③ · 체적 V = x * y * z 의 관계가 있을 때, 각 변수 x, y, z는 서로 독립적인 관측량입니다. 오차전파법칙(Law of Propagation of Variance)에 따르면, 곱셈 형태의 함수에서는 각 인자의 상대오차의 제곱이 합산되어 전체 상대오차를 형성합니다.
V=xyz의 오차전파로 (dV/V)²=K²+K²+K²=3K²이므로 체적관측의 정도는 3K이다.
면적이 500m²인 지역을 0.1m² 까지 정확하게 측정하려고 한다. 세 개의 삼각형으로 나누어 거리관측을 하고 삼변법에 의하여 면적을 구할 때 거리관측 정확도의 최대값은?
정답 ① · 면적의 상대오차는 거리관측 정확도의 제곱에 비례합니다. 목표 면적 정확도(0.1/500)를 달성하기 위해 요구되는 거리관측 정확도를 산출하면 1/22360 정도가 됩니다.
요구되는 거리관측 정확도는 약 1/22400이므로, 이를 만족하는 가장 느슨한 보기인 1/30000이 최대 허용값이다.
측량및지형공간정보기사 풀이 세트에서 이 개념의 문제 10개를 바로 풀어 보세요.