개념 한 쪽
전속은 어떤 면을 지나는 전속선의 총수로, 가우스 법칙 ∮D·dS = Q가 전부다. 문제는 대칭 전계에서 전속밀도 구하기, 유전체 경계면의 연속성·굴절, 전속이 진전하에만 관계한다는 성질 셋으로 나뉜다. 「D는 진전하만, E는 진전하+분극전하」 한 줄이 개념의 뼈대다.
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출제기준 단원 「전속」의 공개 문제 10개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 경계면 성질·조건 | 4 | 굴절 법칙·접선/법선 성분 연속성 판별 |
| 전속밀도 계산 | 3 | Q/4πr²·ε₀εsE·발산 체적 산출 |
| 전속의 결정 원리 | 2 | 진전하만 관계·유전체 투입 불변 |
| 패러데이관 개념 | 1 | 관 밀도와 전속밀도의 동일성 |
가장 자주 묻는 것은 경계면 성질·조건입니다.
전속 Ψ는 닫힌 면을 빠져나가는 전속밀도의 면적분 Ψ = ∮D·dS이고 가우스 법칙에 따라 그 값은 면 안의 자유전하(진전하) Q와 같다. 그래서 대전체를 비유전율 2.2의 유전체 속에 넣어도 전속은 변하지 않고 그대로 Q다 — 매질이 바뀌면 전계 E는 줄어들지만 전속은 자유전하만으로 결정된다. 분극에 의한 속박전하는 전계 E에는 영향을 주지만 전속밀도 D에는 영향을 주지 않는다. 패러데이관은 단위 전속선 하나를 관으로 본 것으로, 단위 면적을 지나는 관의 수가 곧 전속밀도와 동일하다.
대칭인 전계에서는 가우스 법칙으로 전속밀도가 바로 나온다. 반지름 a인 도체구(전하 Q)의 외부 r 지점에서는 전하가 중심에 모인 것과 같으므로 D = Q/(4πr²) [C/m²]다 — 분모에 ε가 들어가지 않는다. 유전체 안에서는 D = ε₀εs E로, εs = 4, E = 20 [kV/m]이면 D = 8.854×10⁻¹²×4×2×10⁴ ≈ 0.71 [μC/m²]다.
전계가 좌표 함수로 주어지면 발산으로 전하를 구한다.E = xi+yj+zk이면 ∇·E = 1+1+1 = 3이므로 ρ = ε₀∇·E = 3ε₀이고, 반지름 r인 구면을 나오는 전속은 Ψ = ρV = 3ε₀×(4/3)πr³ = 4πε₀r³이다. 4πε₀ = 1/(9×10⁹)이므로 r = 10 [m]이면 Ψ = 1000/9×10⁹ ≈ 1.1×10⁻⁷ [C]다.
유전율이 다른 두 유전체의 경계면에서는 두 조건이 성립한다 — 전계의 접선성분은 같고(E₁t = E₂t), 전속밀도의 법선성분은 같다(D₁n = D₂n). 전계의 법선성분과 전속밀도의 접선성분은 유전율이 다르면 불연속이다. 전속이 경계면에 비스듬히 입사하면 tanθ₁/tanθ₂ = ε₁/ε₂를 따라 굴절하고, 수직으로 입사하면 굴절 없이 직진하며 전속밀도도 불변이다(이때도 전계의 세기는 불연속). 전속선은 유전율이 큰 유전체 쪽으로 모이려는 성질이 있다 — 「작은 쪽으로 모인다」는 보기가 틀린 설명으로 자주 나온다.
① 구 대칭: D = Q/(4πr²) — ε 없음, 반지름은 관측점 거리. ② 좌표 전계: ∇·E로 ρ를 구해 Ψ = ρ×(4/3)πr³ = r³/(9×10⁹). ③ 경계면: 접선은 E, 법선은 D가 연속 — 「전계 세기가 연속」이라는 보기는 수직 입사에서도 틀리다.
반지름이 a(m)인 도체구에 전하 Q(C)을 주었을 때, 구 중심에서 r(m) 떨어진 구 외부(r＞a)의 한 점에서의 전속밀도 D(C/m²)는?
정답 ② · 도체구 외부()에서는 전하 가 구 중심에 모여 있는 것처럼 작용합니다. 가우스 법칙으로 반지름 인 가상 구면을 잡으면 그 면을 통과하는 전속은 이고 표면적은 이므로 전속밀도는 입니다.
구 외부의 D는 관측 거리 r 기준 D=Q/4πr²이며 유전율은 포함되지 않는다.
패러데이관의 밀도와 전속밀도는 어떠한 관계인가?
정답 ① · 패러데이관은 단위 전속(1개의 전속선)을 하나의 관으로 본 개념으로, 관의 양 끝에는 정(+)·부(-) 단위 전하가 존재합니다. 단위 면적을 지나는 패러데이관의 수(밀도)가 곧 전속밀도 와 같으므로 두 값은 동일합니다.
패러데이관의 밀도는 단위면적을 통과하는 관의 수로, 곧 전속밀도 D와 동일한 값이다.
유전율이 각각 다른 두 종류의 유전체 경계면에 전속이 입사될 때 이 전속은 어떻게 되는가? (단, 경계면에 수직으로 입사하지 않는 경우이다.)
정답 ① · 유전율이 다른 두 유전체 경계면에 전속이 비스듬히 입사하면 굴절 법칙 에 따라 진행 방향이 꺾이는 **굴절** 현상이 나타난다. 반사·회절·직진은 경계면 통과 시 전속선의 거동과 무관한 개념이라 오답이다.
유전율이 다른 경계면에 전속이 비스듬히 입사하면 tanθ₁/tanθ₂=ε₁/ε₂ 법칙으로 굴절한다.
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