개념 한 쪽
관로 내 유체 흐름에서 유량은 단면적과 유속의 곱으로 보존되며 관단면 변화에 따라 유속이 변하는 것을 연속 방정식으로 설명한다. 동시에 관로 마찰과 형상 변화로 인한 에너지 손실은 다르시-바이스바흐 식이나 손실계수 표현으로 다루어지며, 손실은 주로 유속의 제곱에 비례한다는 점을 핵심으로 삼는다.
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출제기준 단원 「연속 방정식」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 마찰손실 비례 관계 판별 | 1 | 다르시-바이스바흐 식의 항별 비례·반비례 관계를 가림 |
| 속도 제곱 의존성 활용 | 1 | 유속 변화가 손실수두에 미치는 배율을 계산함 |
| 연속 방정식 적용 판단 | 1 | 관단면 변화 시 유량과 유속의 관계를 판단함 |
연속 방정식은 정상 흐름에서 관의 어느 단면을 지나는 유체의 단위 시간당 유량이 일정하다는 원리이다. 식으로는 Q = A·V로 나타내며, 단면적 A가 변하면 유속 V가 반대로 변하여 유량 Q는 보존된다고 설명한다. 따라서 관경이 커지면 유속은 감소하고 관경이 작아지면 유속은 증가한다는 관계를 항상 확인해야 한다.
마찰 손실수두는 다르시-바이스바흐 식으로 설명한다. 이 식은 h_f = f (L/D) (v²/2g)의 형태로 주어지며, 손실수두 h_f는 마찰계수 f와 관길이 L 및 유속의 제곱 v²에 비례하고 관경 D에는 반비례한다는 관계를 나타낸다. 이로부터 유속이 변화하면 손실이 급격히 변한다는 사실을 이해해야 한다.
관로의 일반적 손실은 마찰 손실 외에 확장·수축·밴드 등 형상 변화에 따른 부분 손실로 표현할 수 있으며, 이러한 손실항도 보통 속도의 제곱에 비례하는 항 K(v²/2g)로 표현한다. 따라서 마찰 손실과 국부 손실 모두 속도의 제곱 의존성을 가지므로 유속 변화에 따른 에너지 손실 변화를 예측하는 데 유용하다.
유동의 형태는 층류와 난류로 구분하며, 난류 상태에서는 마찰계수가 관의 거칠기 등에 의해 결정되지만 식의 형태상 손실수두가 마찰계수에 비례한다는 점은 변하지 않는다. 연속 방정식과 손실식은 관로 설계와 운전에서 유량·유속·압력강하의 상호 관계를 판단하는 기본 도구가 된다.
예제 1 — 유속 변화에 따른 손실비교 문제를 다룬다. 유속 v1에서 손실수두가 h1이고 유속이 2배인 v2 = 2·v1일 때 손실수두 h2는 어떻게 변하는지 비교한다. 다르시-바이스바흐 식에서 h ∝ v²이므로 h2/h1 = (v2/v1)² = 2² = 4이다. 따라서 유속을 2배로 하면 손실수두는 4배가 된다는 결론을 얻는다.
예제 2 — 관경 변화에 따른 유속 변화를 다룬다. 동일 유량 Q를 유지할 때 단면적 A가 4배가 되면 유속 V는 V = Q/A 관계로 1/4가 된다. 이 경우 손실수두는 속도의 제곱에 비례하므로 손실수두는 (1/4)² = 1/16로 줄어든다는 사실을 유도한다. 이로써 관경 확대가 유속과 손실에 미치는 영향을 정량적으로 파악할 수 있다.
원관에서 난류가 흐르고 있을 때 손실 수두는?
정답 ④ · 원관 내 난류 흐름에서의 마찰 손실 수두는 다아시-바이스바흐(Darcy-Weisbach) 공식에 의해 결정됩니다. 이 공식에 따르면 손실 수두는 관의 마찰계수, 관길이, 유속의 제곱에 비례하므로, 손실 수두가 관의 마찰계수에 비례한다는 보기 4번이 옳습니다.
다아시-바이스바흐 공식에 따라 난류 손실 수두는 마찰계수, 관길이, 속도의 제곱에 비례한다.
관로(管路)의 유체 마찰저항은 유체속도의 몇 제곱에 비례하는가?
정답 ③ · 관로의 유체 마찰저항이 유체속도의 몇 제곱에 비례하는지를 묻는 문제이다. 다르시-바이스바흐 식에 의하면 마찰 손실 수두는 속도의 제곱에 비례하므로, 유속이 2배가 되면 마찰저항은 약 4배로 증가한다.
관로 유체 마찰저항은 유체속도의 제곱에 비례하므로 정답은 2제곱입니다.
원형 직관 속을 흐르는 유체의 손실수두에 대한 설명으로 잘못된 것은?
정답 ② · 원형 직관 속 유체의 마찰 손실수두에 대한 비례 관계를 묻는 문제이다. 다르시-바이스바흐 공식 h_f = f(L/D)(v²/2g)에 따르면 손실수두는 관 길이 L과 마찰계수 f에 비례하고 내경 D에는 반비례한다.
손실수두는 속도의 제곱에 비례하므로 반비례한다는 ②는 명백한 오류이다.
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