개념 한 쪽
베르누이 방정식은 흐르는 유체의 압력에너지, 속도에너지, 위치에너지의 합이 일정하다는 에너지보존의 표현이다. 비압축성, 비점성, 정상유동이라는 조건에서 성립하며 같은 유선 위의 두 점 사이에서만 쓴다. 실제 유체에서는 점성 손실을 손실수두로 더해야 한다.
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출제기준 단원 「베르누이 방정식의 기초 및기본응용」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 관내 평균유속 계산 | 1 | 관을 흐르는 유체의 평균 유속 값을 구하기 |
| 유선 간격·유속 관계 | 1 | 유선 간격이 좁아지는 지점의 유속 변화 수치 확인 |
| 오일러 방정식 가정 | 1 | 식을 세울 때의 전제 조건에서 어긋난 보기 고르기 |
베르누이 방정식의 적용 조건은 비압축성, 비점성, 정상유동이다. 압축성이나 점성, 비정상 유동은 기본 가정을 벗어난다. 유도할 때도 마찰이 없고 점성력이 영이며 전단응력이 없는 비점성 유체를 전제로 하고, 밀도가 일정한 비압축성 유체를 가정한다. 압축성 유체라는 전제는 정반대다.
적용 범위도 같은 유선으로 한정된다. 같은 유선 위의 두 점 사이에서는 에너지 합이 일정하지만, 서로 다른 유선에 있는 임의의 두 점에는 일반적으로 성립하지 않는다. 위치수두만 고쳐서 실제 유체에 그대로 적용할 수도 없다.
연속방정식과 함께 쓰면 속도를 구할 수 있다. 지름 100mm 관에서 유속 1m/s이던 물이 지름 50mm 관으로 가면 단면적이 4분의 1이 되어 유속은 4m/s가 된다. A점 압력 0.45MPa, B점 압력 0.4MPa이고 두 점 사이 손실을 계산하면 손실수두는 약 4.34m가 된다. 압력수두 차이에서 속도수두 차이를 빼는 순서를 지킨다.
동압으로 유속을 구할 수도 있다. 동압은 밀도와 속도 제곱의 곱의 절반이다. 비중 2인 유체는 밀도가 2,000kg/m³이고, 동압 400kPa를 파스칼로 바꾸어 대입하면 속도는 20m/s가 된다. 킬로파스칼을 파스칼로 바꾸는 단계를 빠뜨리면 제곱근 안의 값이 1,000배 어긋난다.
피토관은 정압과 정체압의 차이로 속도를 잰다. 비중 0.8인 알콜의 높이 차 10cm는 0.8 × 1,000 × 9.8 × 0.1로 784Pa의 압력차가 된다. 공기 밀도를 상태방정식으로 구해 약 1.204kg/m³로 두고 속도 공식에 넣으면 약 36.1m/s가 된다. 액주 높이를 압력으로 바꾸고 다시 밀도로 나누는 두 단계가 필요하다.
유선 간격으로도 속도비를 알 수 있다. 2차원 흐름에서 유선 간격이 2cm에서 1cm로 절반이 되면 유속은 2배가 된다. 간격 2cm에서 20cm/s이던 속도는 간격 1cm에서 40cm/s가 된다. 유선이 빽빽할수록 속도가 빠르다.
탱크의 유입과 유출도 같은 질량보존으로 계산한다. 단면적 0.025m², 속도 8m/s로 들어오는 유입량은 0.2m³/s이고, 유출량 0.05m³/s를 빼면 탱크에는 0.15m³/s가 쌓인다.
관성력과 점성력의 균형은 흐름의 성질을 가른다. 레이놀즈수가 4,000보다 크면 관성력이 점성력보다 우세해 난류가 된다. 점성력이 관성력보다 큰 흐름은 층류다. 원관 층류에서 전단응력은 반지름에 선형으로 비례해 중심에서 0, 벽면에서 최대가 된다.
판단은 조건과 수두에서 갈린다. 베르누이 방정식은 비압축성·비점성·정상유동에서 같은 유선 위에 적용한다. 지름이 절반이 되면 유속은 4배가 되고, 압력수두와 속도수두를 비교하면 손실수두는 약 4.34m다. 동압 400kPa와 밀도 2,000kg/m³이면 속도는 20m/s이고, 알콜 높이 차 10cm인 피토관에서 공기 속도는 약 36.1m/s다. 유선 간격이 절반이면 유속은 2배가 된다.
비중이 0.01인 유체가 지름 30 cm인 관내를 98 N/s로 흐른다. 이때의 평균유속은 몇 m/s인가?
정답 ② · 유체의 중량유량(98 N/s)과 비중을 이용하여 질량유량을 구한 뒤, 관의 단면적을 나누어 평균유속을 계산하는 문제입니다. 비중이 0.01인 유체의 밀도는 물의 밀도(1000 kg/m³)를 곱해 10 kg/m³가 되며, 중량유량 98 N/s를 중력가속도 9.8 m/s²로 나누면 질량유량은 10 kg/s가 됩니다.
중량유량을 중력가속도로 나누어 질량유량을 구하고, 이를 밀도로 나누어 부피유량을 산출한 뒤 관의 단면적으로 나누어 평균유속을 계산한다.
2차원 유체 흐름에서 한 점 A에서 유선 간격은 2cm 이고, 평균 유속은 20cm/s 이다. 다른 점 B에서 유선의 간격이 1cm일 때, 점 B의 평균유속은 몇 cm/s 인가?
정답 ③ · 유선 간격 변화에 따른 점 B의 유속을 구하는 문제이다. 연속방정식 Q=Av에 따라 흐름이 연속적이면 유량이 일정하므로, 유선 간격과 유속은 반비례 관계에 있다.
연속방정식(Q=AV)에 따라 유선 간격이 절반으로 줄면 유속은 2배가 된다.
오일러(Enler's Equation) 방정식을 유도할 때의 가정 중 틀린 것은?
정답 ④ · 오일러 방정식 유도 시의 가정 중 틀린 것을 고르는 문제이다. 오일러 방정식은 비점성 유체에 대한 운동량 방정식으로, 유체에 마찰이 없고 점성력이 영이며 전단응력이 존재하지 않는다는 가정은 모두 비점성 가정의 표현이므로 옳다.
오일러 방정식은 비압축성·비점성 유체의 정상류를 가정하므로 압축성 유체라는 전제는 틀린 것이다.
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