개념 한 쪽
에너지 방정식은 압력수두, 속도수두, 위치수두의 합으로 흐름의 에너지를 나타낸다. 이상유체에서는 합이 일정하지만 실제유체에서는 점성 손실만큼 줄어든다. 연속방정식으로 속도를 맞추고, 오리피스나 피토관에서는 압력차를 수두로 바꾸어 유량과 유속을 구한다.
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출제기준 단원 「에너지 방정식과 응용」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 연속방정식 미충족 벡터 | 1 | 주어진 속도벡터 중 식을 어긴 것 고르기 |
| 평판 전단응력 계산 | 1 | 평판 위 흐름의 벽면 전단응력 값 구하기 |
| 배관 흐름 미지수 계산 | 1 | 상류·하류 조건으로 관 흐름의 값을 구하기 |
베르누이 방정식은 비압축성, 비점성, 정상유동 조건에서 성립한다. 에너지보존을 유체에 적용한 식이며, 같은 유선 위의 두 점 사이에서만 쓴다. 임의의 두 점에 그대로 적용하면 유선 조건을 놓친 것이 된다. 실제유체에서는 점성 손실을 손실수두로 더한다.
속도장이 연속방정식을 만족하는지는 편미분의 합으로 확인한다. 2차원 비압축성 유동에서는 x방향 속도를 x로 미분한 값과 y방향 속도를 y로 미분한 값의 합이 0이어야 한다. 합이 0이 되지 않는 속도장은 연속방정식을 만족하지 않는다.
전단응력은 점성계수와 속도구배의 곱이다. 속도분포가 850y - 5×10⁻⁶y³이면 미분값은 850 - 15×10⁻⁶y²이고, 벽면인 y=0에서 속도구배는 850이다. 점성계수 1.4×10⁻³kg/(m·s)를 곱하면 벽면 전단응력은 1.19N/m²가 된다.
두 지점의 에너지 차이는 손실수두로 나타난다. 지름 100mm 관에서 압력 0.45MPa, 유속 1m/s이던 물이 지름 50mm 관에서 압력 0.4MPa이 되면, 지름이 절반이 되어 속도는 4배가 된다. 압력수두 차이와 속도수두 차이를 정리하면 손실수두는 약 4.34m가 된다.
탱크의 저장량 변화는 유입량과 유출량의 차이다. 단면적 0.025m², 속도 8m/s인 노즐로 0.2m³/s가 들어오고 0.05m³/s가 나가면 탱크의 물은 0.15m³/s씩 늘어난다. 유입량을 단면적과 속도의 곱으로 먼저 구한다.
동압은 밀도와 속도 제곱의 곱의 절반이다. 비중 2인 유체는 밀도 2,000kg/m³이고, 동압 400kPa를 파스칼로 바꾸어 대입하면 속도는 20m/s가 된다. 동압, 정압, 전압의 관계에서 속도를 분리해 내는 것이 핵심이다.
오리피스와 피토관은 압력차를 수두로 바꾸어 계산한다. 오리피스 유량은 유량계수, 단면적, 중력가속도와 수두 차의 곱의 제곱근을 곱해 구한다. 지름 3cm 오리피스, 압력수두 차 12cm, 유량계수 0.66이면 유량은 약 0.000715m³/s가 된다. 피토관에서 정압과 정체압의 차이가 5cmHg이면 수은 비중 13.6을 이용해 물 수두로 환산하고, 유속은 약 3.51m/s가 된다.
판단은 손실과 환산에서 갈린다. 베르누이 방정식은 비압축성·비점성·정상유동에서 같은 유선 위에 적용한다. 속도분포 850y - 5×10⁻⁶y³의 벽면 전단응력은 1.19N/m²이고, 지름이 절반이 되는 배관의 손실수두는 약 4.34m다. 동압 400kPa와 밀도 2,000kg/m³이면 20m/s이고, 오리피스 유량은 약 0.000715m³/s, 5cmHg 피토관 유속은 약 3.51m/s다.
다음 중에서 2차원 비압축성유동의 연속방정식을 만족하지 않는 속도벡터는? (단, i, j는 각각 x, y 방향의 단위벡터를 나타낸다.)
정답 ④ · 2차원 비압축성 유동의 연속방정식은 x방향 속도성분(u)을 x로 편미분한 값과 y방향 속도성분(v)을 y로 편미분한 값의 합이 0(∂u/∂x + ∂v/∂y = 0)이 되어야 합니다. 보기 4번의 경우 u = 4xy + y², v = 6xy + 3x 입니다.
2차원 비압축성 유동의 연속방정식은 속도 성분의 편미분 합이 0이어야 하므로, 이를 만족하지 않는 속도벡터를 찾으면 정답이다.
점성계수가 1.4 × 10-3kg/(m·s)인 유체가 평판 위를 u = 850y - 5 × 10-6y3 m/s의 속도분포로 흐르고 있다. 이 때 벽면에서의 전단응력은 몇 N/m² 인가? (단, y는 벽면으로부터 m 단위로 측정한 수직거리이다.)
정답 ④ · 뉴턴의 점성법칙을 적용해 벽면에서의 전단응력을 구하는 문제이다. 전단응력은 τ=μ(du/dy)로 계산되므로 속도분포를 y로 미분한다.
뉴턴의 점성법칙 τ=μ(du/dy)를 적용하여 속도분포를 미분한 후 벽면(y=0)에서의 전단응력을 계산한다.
배관 설비에서 상류 지점인 A 지점의 배관을 조사해 보니 100mm, 압력 0.45MPa, 평균유속 1m/s 이었다. 또 하류의 B 지점을 조사해 보니 지름 50mm, 압력 0.4MPa 이었다면 두 지점 사이의 손실 수두는 몇 m 인가?
정답 ① · 베르누이 방정식을 이용하여 손실수두를 계산합니다. 먼저 A지점의 유속은 1m/s이고 B지점의 유속은 연속방정식에 의해 4m/s로 증가합니다.
베르누이 방정식과 연속방정식을 적용해 속도수두와 압력수두의 차이를 계산하면 손실 수두는 약 4.34m이다.
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