개념 한 쪽
에너지선은 압력수두, 속도수두, 위치수두를 모두 더한 에너지 높이이고, 수력기울기선은 여기서 속도수두를 뺀 압력 높이다. 관이 좁아져 속도가 빨라지면 압력은 떨어지고, 마찰손실이 생기면 두 선이 흐름 방향으로 내려간다. 연속방정식으로 속도를 먼저 구하고 베르누이 방정식으로 압력과 손실을 정리한다.
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출제기준 단원 「수력기울기선, 에너지선」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 노즐 반력 계산 | 1 | 공기 분사 노즐이 받는 힘 구하기 |
| 오일러 방정식 의미 | 1 | 유체 운동에서 식이 나타내는 관계 고르기 |
| 관 출구 압력 계산 | 1 | 지름·유속 조건으로 출구의 압력 값 구하기 |
에너지선은 흐름의 각 지점에서 압력수두, 속도수두, 위치수두를 더한 높이다. 수력기울기선은 에너지선에서 속도수두를 뺀 높이이며, 두 선의 차이가 속도수두다. 마찰손실이 있으면 두 선은 흐름 방향으로 내려간다. 수평관에서는 위치수두가 같으므로 압력 변화와 속도 변화만 비교한다.
오일러의 운동방정식은 점성이 없는 유동에서 유선을 따라 작용하는 힘과 가속도의 관계를 나타낸다. 뉴턴의 제2법칙을 유체 입자에 적용한 식이며, 에너지 관계는 베르누이 방정식, 질량 관계는 연속방정식이 맡는다. 세 방정식이 각각 힘, 에너지, 질량을 다룬다는 구분이 기준이다.
노즐처럼 단면적이 줄어드는 곳에서는 속도가 빨라지고 압력이 떨어진다. 입구 0.1m², 출구 0.02m²인 노즐에서 공기가 10m/s로 나가면 연속방정식으로 입구 속도는 2m/s가 된다. 밀도 1.23kg/m³을 베르누이 방정식에 넣으면 필요한 입구 계기압은 0.5 × 1.23 × (100 - 4)로 약 59Pa이다.
지름이 변하는 수평관에서도 같은 순서로 계산한다. 지름 65mm에서 2.5m/s이던 물이 지름 40mm로 가면 유속은 (65/40)²을 곱해 약 6.60m/s가 된다. 입구 압력 350kPa에서 속도수두 증가분을 빼면 출구 압력은 약 330kPa가 된다. 지름이 줄면 유속이 늘고 압력이 줄어든다는 방향을 먼저 세운다.
두 지점의 에너지 차이는 손실수두로 나타난다. 지름 100mm에서 압력 0.45MPa, 유속 1m/s이던 물이 지름 50mm에서 압력 0.4MPa이 되면 유속은 4m/s가 된다. 압력수두 차이와 속도수두 차이를 정리하면 두 지점 사이 손실수두는 약 4.34m이다. 에너지선이 내려간 만큼이 손실이다.
단면적이 다른 관을 잇는 경우에도 연속방정식이 먼저다. 한 변 500mm인 정사각형 관에 원형관을 이어 원형관 유속을 2배로 만들려면 원형관 단면적은 정사각형의 절반이어야 한다. 지름은 약 39.89cm가 된다. 유속이 k배가 되면 단면적은 k분의 1, 지름은 k의 제곱근분의 1이 된다.
공기는 중량유량을 질량유량과 부피유량으로 바꾸어 속도를 구한다. 단면적이 0.6m²에서 0.2m²로 줄어드는 관에 7.26N/s의 공기가 흐르면 질량유량은 9.8로 나눈 약 0.741kg/s이고, 부피유량은 밀도 1.23으로 나눈 약 0.602m³/s이다. 두 단면의 속도는 약 1.0m/s와 3.0m/s가 되고, 압력 감소는 약 4.96Pa이다.
피토관은 정압과 정체압의 차이를 수두로 읽어 속도를 구한다. 비중 0.8인 알코올 높이 차 10cm는 784Pa이고, 상태방정식으로 구한 공기 밀도 1.205kg/m³을 넣으면 속도는 약 36.1m/s이다. 수은주 60mmHg는 비중 13.6을 곱해 물 수두 0.816m로 바꾸고, 2gh의 제곱근으로 계산하면 약 4.0m/s가 된다.
베르누이 방정식은 비압축성, 비점성, 정상유동이라는 전제에서만 쓴다. 점성이 있거나 압축성 유동이거나 시간에 따라 변하는 흐름에는 손실항과 변화항을 따로 넣어야 한다. 운동량의 시간당 변화율이 힘과 같다는 관계도 에너지선 해석의 바탕이 된다.
판단은 수두의 합에서 갈린다. 노즐 입구 계기압은 약 59Pa이고, 65mm에서 40mm로 줄어드는 관의 출구 압력은 약 330kPa다. 100mm에서 50mm로 가는 배관의 손실수두는 약 4.34m이며, 정사각형 500mm 관에 잇는 원형관 지름은 약 39.89cm다. 공기 7.26N/s가 0.6m²에서 0.2m²로 가면 압력 감소는 약 4.96Pa다. 피토관은 알코올 10cm에서 약 36.1m/s, 수은 60mmHg에서 약 4.0m/s를 가리킨다.
입구 면적이 0.1m², 출구 면적이 0.02m²인 수평한 노즐을 이용하여, 공기(밀도 1.23kg/m³)대기로 10m/s의 속도로 분출하려한다. 마찰을 무시하고 입출구에서 균일한 속도분포를 갖는다면, 이때 필요한 노즐 입구의 계기압은?
정답 ① · 연속방정식에 의해 입구와 출구의 유량은 같습니다. 입구 면적 A1=0.1m², 출구 면적 A2=0.02m², 출구 속도 v2=10m/s이므로 입구 속도 v1 = (A2×v2)/A1 = 2m/s입니다.
노즐 입구 압력은 연속방정식으로 입구 속도를 구한 후 베르누이 방정식으로 정압차를 계산한다.
오일러의 운동방정식은 유체운동에 대하여 어떠한 관계를 표시하는가?
정답 ④ · 오일러의 운동방정식이 유체운동의 어떤 관계를 기술하는지를 묻는 개념 문제이다. 오일러 운동방정식은 비점성 유체의 유동에서 유선 방향으로 뉴턴 제2법칙(F = ma)을 적용한 것으로, 유선상의 한 점을 통과하는 유체입자의 가속도와 그에 작용하는 힘의 관계를 나타낸다.
오일러 운동방정식은 비점성 유동에서 유선상의 가속도와 작용하는 힘의 관계를 나타낸다.
수평으로 놓인 관로에서, 입구의 관 지름이 65mm, 유속이 2.5m/s 이며 출구의 관 지름이 40mm라고 한다. 입구에서의 압력이 350㎪ 이라면 출구에서의 압력은 약 몇 ㎪ 인가? (단, 마찰손실은 무시하고 유체의 밀도는 1000㎏/m³로 한다.)
정답 ③ · 연속방정식과 베르누이 방정식을 적용하여 출구의 압력을 구하는 문제입니다. 먼저 연속방정식(A1V1=A2V2)에 의해 출구 유속 V2 = 2.5 × (65/40)² ≒ 6.602 m/s 입니다.
연속방정식으로 출구 유속을 구한 후 베르누이 방정식으로 압력 강하분을 계산하여 차감한다.
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