개념 한 쪽
무차원수 세트는 「지배 힘 → 무차원수 → 상사 조건」 연결이 축이다. 관성력/점성력=레이놀즈 수(층류·난류 판별), 관성력/중력=프루드 수(자유표면 흐름), 관성력/표면장력=웨버 수, 압력 관련=오일러 수. 모형실험에서는 지배 무차원수를 모형과 원형에 일치시켜 속도·회전수를 환산한다.
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출제기준 단원 「무차원수, 차원해석」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 레이놀즈 상사 유속 | 1 | 두 흐름의 레이놀즈 수를 같게 하는 유속 구하기 |
| 프루드 크기 비 | 1 | 프루드 수 조건에서 모형과 원형의 크기 비 |
| 풍동 속도 계산 | 1 | 모형 높이에 맞춘 풍동 공기 속도 구하기 |
매칭이 먼저다. 레이놀즈 수 Re는 관성력과 점성력의 비로 흐름이 층류인지 난류인지 판별하는 기준이고, 프루드 수 Fr=V/√(gL)은 중력 효과의 지표로 자유표면(자유수면)이 있는 흐름의 상사 조건이며, 웨버 수는 표면장력, 오일러 수는 압력 변화에 대응한다. 관성력·점성력·중력·표면장력이 중요한 계에서 오일러 수만 대응하지 않는다는 식의 소거 문항도 같은 맥락이다.
모형실험은 「어떤 수를 같게 할까」로 시작한다. 점성력이 지배적인 동일 액체 내 운동은 레이놀즈 수 일치, 자유표면 흐름(선박 등)은 프루드 수 일치가 조건이다. 계산은 Re=ρVD/μ(잠수함·비행선·탄환) 또는 V∝ND인 회전 기계는 N·D/ν 일치로 환산한다. 공기 중 10 m/s 소형 비행선을 1/5 축척 모형으로 물속에서 실험하면 밀도비·점성비·축척을 반영해 V_m=9 m/s이고, 실제 잠수함 2 m/s를 1/10 모형(해수 밀도의 1/2·점성계수의 1/2 액체)으로 실험하면 V_m=2×2×10×0.5=20 m/s다. 프루드 상사에서는 V_m=V_p√(L_m/L_p) — 길이 100m 선박을 5m 모형선으로 실험할 때 속도는 길이비 1/20의 제곱근 배만 감소한다(선형 비례가 아니다).
차원해석으로 얻은 무차원수는 모형과 원형에서 값이 같다는 원리로 미지량을 구한다. 두 무차원수 F/(AB²)와 B/(CD²)를 얻었으면 F/(AB²)가 일정하므로 F₂=F₁(A₂/A₁)(B₂/B₁)² — A가 2배, B가 4배면 F=32F₁이다(제곱 항 누락이 오답). 레이놀즈 수 환산에서 밀도비를 점성비로 나눈 값을 축척으로 곱하는 요령도 같은 계산의 다른 꼴이다.
출제 패턴은 세 가지다. ① 힘-무차원수 매칭(점성=Re, 중력=Fr, 표면장력=We, 압력=Eu). ② 상사 조건 선택 — 잠긴 물체·점성 지배는 Re, 자유표면은 Fr. ③ 속도·힘 환산 — Re 일치로 V_m 계산, 프루드는 √(길이비), 무차원수 일정으로 F 배율 계산. 함정은 길이비를 선형으로 곱하는 것, 밀도·점성 비율을 반대로 넣는 것, B의 제곱을 빼먹는 것이다.
어떤 물리적인 계(system)에서 관성력, 점성력, 중력, 표면장력이 중요하다. 이 시스템과 관련된 무차원 수가 아닌 것은?
정답 ④ · 물리 계에서 중요한 힘들에 대응되는 무차원 수를 찾는 문제이다. 관성력과 점성력의 비는 레이놀즈 수, 관성력과 중력의 비는 프루드 수, 관성력과 표면장력의 비는 웨버 수이다.
관성력, 점성력, 중력, 표면장력은 각각 레이놀즈, 프루드, 웨버수와 대응되므로 오일러수는 제외된다.
원심 펌프로 기름을 압송한다. 이 펌프의 회전수느 1000rpm이고, 기름의 동점성계수는 7×10⁻⁴m²/s이다. 이 펌프의 모형을 만들어서 1.56×10⁻⁴m²/s의 동정섬계수를 갖는 공기를 이용하여 모형 실험을 하려고 한다. 모형 펌프의 지름을 원형 펌프의 3배로 하였을 때 모형 펌프의 회전수는 약 몇 rpm인가?
정답 ② · 레이놀즈 수 유사성을 맞추기 위해 Re = N·D/ν가 일정함을 이용하여 모형 회전수를 구하는 문제이다. 원형과 모형의 관계식 N_p D_p/ν_p = N_m D_m/ν_m에서 D_m = 3D_p와 수치들을 대입하면 N_m = N_p·(D_p/D_m)·(ν_m/ν_p) = 1000·(1/3)·(1.56×10⁻⁴ / 7×10⁻⁴) ≈ 1000·(1/3)·0.2229 ≈ 25 rpm이 된다.
동상 유사성 원리에 따라 레이놀즈 수를 일치시켜 회전수를 계산한다.
길이 100m, 속도 18m/s인 선박의 모형실험을 길이 5m인 모형선으로 프루드(Froude) 상사가 성립되게 실험하려면 모형선의 속도는 약 몇 m/s로 해야 하는 가?
정답 ② · 프루드 수가 같도록 모형선의 속도를 구하는 상사법칙 문제이다. 프루드 상사에서 Fr=V/√(gL)가 실선과 모형에서 동일해야 하므로 Vm=Vp×√(Lm/Lp)의 관계가 성립한다.
프루드 상사법칙에 따라 속도는 길이의 제곱근에 비례하므로, 모형 속도는 실제 속도에 길이비 제곱근을 곱해 구한다.
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