교류회로 — 실효값·위상·임피던스

교류회로는 가장 많이 나오고 가장 많이 틀린다

교류회로는 전기이론의 심장부다. 20문항 가운데 6문항에서 8문항이 이 단원에서 나온다. 그만큼 비중이 크다. 그런데 합격을 가르는 지점도 여기다. 많이 나오고 많이 틀린다.

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어려움의 뿌리는 하나다. 직류는 값이 하나다. 건전지는 1.5볼트라고 하면 끝까지 1.5볼트다. 교류는 다르다. 값이 초마다 바뀐다. 같은 220볼트 콘센트라도 순간순간 전압이 오르내린다. 그래서 「220볼트」라는 말 자체가 애매해진다. 어느 순간의 값을 말하는가. 최댓값인가, 평균인가, 아니면 다른 기준인가.

이 질문에 답을 못 하면 이 단원 전체가 무너진다. 계산을 아무리 잘해도 값의 기준을 섞으면 답이 틀린다. 반대로 기준만 바로 세우면 식은 생각보다 짧다. 이 글은 그 기준부터 세운다. 값을 정의하고, 위상을 읽고, 임피던스 삼각형을 그린다. 그다음 역률과 3상까지 한 번에 이어 붙인다. 예를 들어 220볼트는 최댓값이 아니다. 그 사실 하나만 알아도 실수 절반이 사라진다.

정현파 — 시간에 따라 바뀌는 값을 식 하나로 적는 법

교류의 모양은 파도와 같다. 올라갔다 내려갔다를 반복한다. 이 모양을 식 하나로 적은 것이 정현파다. 시험이 쓰는 정현파 식은 하나뿐이므로 이것부터 읽어 보자.

쓰는 법 · $v = 141\sin(120\pi t)$이면 최댓값은 141볼트이고 주파수는 60헤르츠다.

식을 자리별로 읽으면 어렵지 않다. $V_m$은 최댓값이다. 파도의 꼭대기 높이다. $\omega$는 각주파수다. 1초에 몇 라디안만큼 돌아가는가를 나타낸다. $\theta$는 위상이다. 출발선이 어디서 시작하는가를 정한다. 시험에서는 이 세 자리에 숫자를 바꿔 넣어 묻는다.

각주파수와 주파수는 다른 것이다. 이 둘을 섞으면 틀린다. 관계식은 짧다.

쓰는 법 · $f = 60$이면 $\omega = 120\pi$이고, 주기는 약 0.017초다.

주파수 $f$는 1초에 몇 번 반복하는가다. 우리 나라 전기는 60헤르츠다. 1초에 60번 파도가 왔다 간다는 뜻이다. 형광등이 살짝 떨리는 것처럼 보이는 것도 이 때문이다. 주기 $T$는 한 번 도는 데 걸리는 시간이다. 분모에 $f$가 있으니 주파수가 두 배가 되면 주기는 절반이 된다. 역수 관계다. 이 구조만 기억해도 두 값은 서로 바꿔 계산할 수 있다.

위상 $\theta$의 기호도 읽어 두자. 더해져 있으면 그만큼 앞서 출발한 것이다. 빼져 있으면 그만큼 늦게 출발한 것이다. 달리기로 치면 출발선보다 몇 걸음 앞에서 뛰기 시작하는 셈이다. 이 감각은 다음 절의 위상차에서 그대로 쓰인다.

실효값·최댓값·평균값 — 셋을 섞으면 계산이 무너진다

교류에서 값이 셋 나온다. 최댓값, 평균값, 실효값이다. 시험은 이 셋을 바꿔 묻는다. 먼저 실효값부터 정의하자. 실효값이 기준이 되기 때문이다.

실효값은 「같은 열을 내는 직류로 환산한 값」이다. 저항에 교류를 흘리면 열이 난다. 같은 저항에 직류를 흘려 같은 열이 나게 만든다. 그 직류의 값이 교류의 실효값이다. 열로 비교하니 파도 모양과 상관없이 딱 하나의 숫자가 나온다. 이것이 실효값을 쓰는 이유다.

우리가 220볼트라 부르는 것은 실효값이다. 콘센트의 순간 최고 전압이 220볼트라는 뜻이 아니다. 최고 순간은 그보다 훨씬 높다. 뒤에서 계산한다. 전기요금 고지서부터 형광등 정격까지, 생활에 쓰는 교류 숫자는 전부 실효값이다. 이 문장을 못 박아 두자.

정현파의 실효값과 평균값 식은 다음과 같다.

쓰는 법 · 실효값 220볼트의 최댓값은 $220 \times 1.414$, 약 311볼트다.

0.707은 어디서 왔는가. $\frac{1}{\sqrt{2}}$를 계산하면 0.707이다. 즉 실효값은 최댓값의 약 70퍼센트다. 거꾸로 최댓값을 물으면 $\sqrt{2}$, 약 1.414를 곱한다. 예를 들어 최댓값 141볼트인 정현파는 실효값이 약 100볼트다. $141 \times 0.707 \approx 100$이기 때문이다. 이 짝을 그대로 외워 두면 계산이 빨라진다.

평균값 식도 하나 둔다. 반파의 평균을 뜻한다.

쓰는 법 · 최댓값 100볼트의 평균값은 63.7볼트다.

파형률과 파고율은 이 값들끼리의 비다. 파형률은 실효값을 평균값으로 나눈다. 파고율은 최댓값을 실효값으로 나눈다. 정현파의 파고율은 $\sqrt{2}$, 약 1.414다. 정의를 물어보면 「무엇을 무엇으로 나누는가」만 정확히 답하면 된다. 순서가 바뀌면 전혀 다른 값이 되니 표로 짝지어 외우라.

위상차 — 앞서는가 뒤지는가

교류에서는 전압과 전류가 같은 시각에 정점에 오르지 않을 수 있다. 이 시간적인 어긋남이 위상차다. 결론부터 말한다. 코일에서는 전류가 전압보다 90도 뒤진다. 콘덴서에서는 전류가 전압보다 90도 앞선다. 저항에서는 둘이 같다. 이 세 문장이 이 단원 전체의 뼈다.

위상차는 시간 차로 읽으면 된다. 위상이 90도 다르다는 말은 한쪽 파도가 4분의 1 주기만큼 먼저 정점에 닿는다는 뜻이다. 60헤르츠에서 한 주기는 약 0.017초이니 90도는 약 0.004초의 차이다. 눈깜짝할 사이지만 회로에서는 결정적인 차이를 만든다.

왜 코일에서 전류가 늦는가. 코일은 변화를 싫어한다. 전류가 바뀌려면 그 변화를 막는 힘이 나온다. 그래서 전류는 전압이 시켜도 바로 따라가지 못한다. 출발 총성이 울렸는데 스타트 블록에 붙잡혀 한 박자 늦게 뛰는 주자와 같다. 전압이 먼저 나가고 전류가 뒤따른다.

콘덴서는 반대다. 콘덴서는 변화를 좋아한다. 충전되는 순간에는 전류가 가장 세게 흐른다. 전압이 차오르기 전에 전류가 먼저 몰려간다. 총성이 울리기 전에 이미 달리고 있는 주자다. 그래서 전류가 전압보다 90도 앞선다.

문제에서 「전류가 90도 뒤진다」고 하면 코일임을 알아야 한다. 「앞선다」고 하면 콘덴서다. 위상차를 물어 숫자가 아닌 부품을 고르는 문제도 나온다. 예를 들어 전압이 $100\sin(\omega t)$이고 전류가 $5\sin(\omega t - 90^\circ)$이면 이 회로는 순수한 코일 회로다. 마이너스 부호가 「뒤진다」는 뜻이기 때문이다.

저항만·코일만·콘덴서만 있는 회로를 먼저 갈라 보라

교류 계산의 첫걸음은 회로를 갈라 보는 것이다. 섞인 회로도 결국 세 가지 부품의 조합이기 때문이다. 세 가지 순수 회로부터 하나씩 세우자.

저항만 있는 회로가 가장 단순하다. 위상차가 없다. 전압과 전류가 같이 오르고 같이 내린다. 크기는 옴의 법칙 그대로다. 예를 들어 100볼트에 50옴 저항을 걸면 2암페어가 흐른다. 교류라고 특별할 것이 없다.

코일만 있는 회로를 보자. 코일은 교류를 통과시키되 방해한다. 이 방해의 크기가 유도 리액턴스 $X_L$이다. 저항과 단위가 같은 옴이다. 그러나 저항과 다른 점이 있다. 열을 내지 않는다는 것이다. 코일에서 전압은 전류보다 90도 앞선다. 이미 앞 절에서 본 대로다.

콘덴서만 있는 회로는 다시 반대다. 방해의 크기를 용량 리액턴스 $X_C$라 부른다. 전압은 전류보다 90도 뒤진다. 이것도 앞 절의 결론을 그대로 쓴 것이다.

세 회로를 한 문장으로 묶어 보자. 저항은 크기만 줄인다. 코일은 크기를 줄이고 전류를 늦춘다. 콘덴서는 크기를 줄이고 전류를 당긴다. 더 짧게 줄이면 이렇다. 코일은 변화를 싫어하고 콘덴서는 변화를 좋아한다. 이 한 문장이 세 부품의 성격을 전부 담는다.

예를 들어 유도 리액턴스 10옴인 코일에 100볼트를 걸면 10암페어가 흐른다. 옴의 법칙에서 저항 자리에 리액턴스를 넣었을 뿐이다. 계산 틀은 같다. 다른 점은 위상뿐이다. 시험은 이 위상 쪽을 물어 실수를 유도한다. 크기 계산에만 눈을 두지 말라.

리액턴스는 주파수를 먹는다

리액턴스에는 저항에게 없는 성질이 하나 있다. 주파수에 따라 크기가 바뀐다. 이것이 교류 문제의 핵심 장치다. 식 두 개를 놓고 읽어 보자.

쓰는 법 · $L = 0.1$이고 $f = 60$이면 $X_L = 12\pi$, 약 37.7옴이다.

식의 구조를 읽는 법을 배워라. $X_L$ 식에서 $f$는 분자에 있다. 곱해진다는 뜻이다. 그래서 주파수가 오르면 $X_L$은 커진다. 정비례다. $X_C$ 식에서 $f$는 분모에 있다. 그래서 주파수가 오르면 $X_C$은 작아진다. 반비례다. 식을 외우지 말고 「분자냐 분모냐」로 읽어라. 시험장에서 헷갈리면 이 구조만 떠올리면 된다.

극단적인 예로 굳혀 보자. 직류는 주파수가 0이다. $X_L$ 식에 $f = 0$을 넣으면 $X_L = 0$이다. 코일은 그냥 도선이 된다. 아무 방해도 하지 않는다. 반면 $X_C$ 식에 $f = 0$을 넣으면 분모가 0이라 값이 무한대로 간다. 콘덴서는 끊긴 선과 같아진다. 전류가 흐르지 않는다. 이 그림이 잡히면 두 식은 몸에 붙는다.

주파수가 아주 높아지면 반대가 된다. $X_L$은 커져 코일이 전류를 막는다. $X_C$은 작아져 콘덴서가 잘 통과시킨다. 예를 들어 같은 코일이라도 60헤르츠에서는 37.7옴이던 것이 주파수가 두 배가 되면 정확히 두 배인 75.4옴이 된다. 정비례라 그렇다. 이런 문제가 시험에 반복해 나온다. 곱셈 한 번이면 끝나는 문제다.

임피던스 — 직각삼각형 하나로 끝난다

저항과 코일과 콘덴서가 한 회로에 섞이면 어떻게 계산하는가. 임피던스로 묶는다. 임피던스는 회로 전체의 방해 크기다. 단위는 옴이다. 그런데 그냥 더하면 틀린다. 여기가 가장 많이 넘어지는 지점이다.

왜 그냥 더하면 안 되는가. 저항과 리액턴스는 방향이 다르다. 코일의 전압은 전류보다 90도 앞서고 콘덴서의 전압은 90도 뒤진다. 저항의 전압은 전류와 같은 방향이다. 서로 90도로 어긋난 힘은 더하지 않고 직각으로 붙인다. 동쪽으로 3미터 가고 북쪽으로 4미터 간 사람이 원점에서 7미터에 있지 않은 것과 같다. 거리는 5미터다. 피타고라스의 정리로 구한다.

쓰는 법 · $R = 3$, $X_L = 4$, $X_C = 0$이면 $Z = 5$옴이다.

계산 순서가 하나 정해져 있다. 먼저 $X_L - X_C$를 뺀다. 그다음 제곱한다. 빼기와 제곱의 순서를 바꾸면 답이 달라진다. 코일과 콘덴서는 방향이 서로 반대라 서로 지운다. 그래서 뺀다. 빼서 나온 값을 한 덩어리로 보고 저항과 직각으로 붙이는 것이다.

3과 4를 붙이면 5가 나온다. 가장 유명한 직각삼각형 짝이다. 예를 들어 저항 3옴에 리액턴스 4옴인 회로는 임피던스가 5옴이다. 여기에 100볼트를 걸면 전류는 20암페어다. $V = IZ$를 쓴다. 6옴과 8옴이면 10옴이다. 3·4·5와 6·8·10 짝을 외워 두면 계산이 눈에 보이듯 빨라진다. 시험은 이 짝으로 숫자를 낸다.

옴의 법칙도 교류판이 따로 없다. 저항 자리에 임피던스를 넣을 뿐이다. $V = IZ$다. 실효값끼리만 쓴다는 점을 붙들어라. 최댓값을 섞는 순간 답이 1.414배 어긋난다.

역률 — 보낸 전기 가운데 실제로 일한 몫

역률은 보낸 전기 가운데 실제로 일한 몫을 나타낸다. 숫자로는 $\cos\theta$다. 역률이 1이면 보낸 전기 전부가 일에 쓰였다. 역률이 0.6이면 60퍼센트만 일하고 나머지는 왔다 갔다만 한 것이다.

쓰는 법 · $R = 3$옴, $Z = 5$옴이면 역률은 0.6이다.

이 두 식이 같은 말인 이유를 보자. 임피던스 삼각형에서 밑변이 $R$이고 빗변이 $Z$다. 빗변에 대한 밑변의 비가 $\cos\theta$다. 한편 전력 삼각형에서도 밑변이 유효전력 $P$이고 빗변이 피상전력 $VI$다. 두 삼각형은 모양이 같다. 각이 같은 삼각형이다. 그래서 변의 비도 같을 수밖에 없다. 두 식을 따로 외울 필요가 없다.

전력을 셋으로 갈라 보자. 유효전력 $P = VI\cos\theta$는 실제로 일하는 몫이다. 모터를 돌리고 열을 내는 전력이다. 무효전력 $Q = VI\sin\theta$는 왔다 갔다만 하는 몫이다. 코일과 콘덴서가 주고받는 것이다. 피상전력 $S = VI$는 겉보기 전부다. 셋의 관계는 또 직각삼각형이다.

쓰는 법 · $P = 300$, $Q = 400$이면 $S = 500$이다. 3·4·5 짝이다.

역률이 낮으면 어떻게 되는가. 같은 일을 하려면 더 큰 전류를 보내야 한다. $P = VI\cos\theta$에서 $P$를 정해 두면 $\cos\theta$가 작아질수록 $I$가 커져야 하기 때문이다. 예를 들어 역률 0.5인 가정에 1킬로와트를 보내려면 역률 1인 가정보다 전류가 두 배 필요하다. 전선은 더 굵어야 하고 손실도 커진다. 그래서 전기 사업자가 역률을 관리하는 것이다. 시험에서는 계산보다 이 관계를 묻는 문항이 반복해 나온다. 「역률이 낮으면 전류가 커진다」. 이 한 줄로 답이 되는 경우가 많다.

직렬공진 — 임피던스가 가장 작아지는 지점

코일과 콘덴서가 직렬로 붙어 있으면 특별한 지점이 하나 생긴다. $X_L = X_C$가 되는 주파수다. 이 상태를 직렬공진이라 부른다.

결론부터 말한다. 공진이 일어나면 임피던스가 가장 작아지고 전류가 가장 커진다. 이유는 간단하다. 임피던스 식의 $X_L - X_C$가 0이 되기 때문이다. 둘이 같으면 뺄셈이 0이고, 식에는 $R$만 남는다. 방해가 저항 하나로 줄어드니 같은 전압에서 전류가 최대가 된다. 예를 들어 $R = 1$옴, $X_L = X_C = 100$옴인 회로가 공진하면 임피던스는 1옴이다. 100볼트를 걸면 100암페어가 흐른다. 숫자가 극적으로 커지는 이유가 여기 있다.

공진 주파수는 식 하나로 정해진다.

쓰는 법 · $L$과 $C$가 커지면 $f_0$은 작아진다. 분모가 커지기 때문이다.

식의 구조를 읽어 보자. $LC$는 분모의 루트 안에 있다. $L$이나 $C$가 커지면 공진 주파수는 내려간다. 라디오 방송을 고를 때 다이얼을 돌리는 것과 같은 원리다. 안테나 회로의 $L$과 $C$를 조정해 원하는 주파수에서만 공진을 일으킨다. 그 주파수의 전파만 골라 소리가 나오는 것이다. 공진이 「특정 주파수를 뽑아 크게 만드는 장치」로 쓰이는 이유가 여기 있다.

주의할 점이 하나 있다. 공진 상태에서 저항이 아주 작으면 전류가 지나치게 커진다. 회로가 타들어 갈 수 있다. 시험은 「전류가 최대가 된다」와 「전압이 최대가 된다」를 섞어 놓고 묻는다. 직렬공진에서 최대가 되는 것은 전류이다. 이 등식만 놓치지 마라.

3상 결선 — √3이 어디에 붙나

공장과 빌딩의 전기는 3상 교류다. 코일 세 개를 120도 간격으로 돌려 전기를 뽑는 방식이다. 이 세 상을 어떻게 연결하느냐가 결선이다. 두 가지가 있다. Y결선과 Δ결선이다.

먼저 낱말을 정리하자. 상전압은 각 상 코일 양끝의 전압이다. 선간전압은 밖으로 나온 선끼리 잰 전압이다. 상전류는 코일에 흐르는 전류이다. 선전류는 밖으로 나온 선에 흐르는 전류이다. 「선」이 붙으면 밖으로 나온 선 쪽이다. 「상」이 붙으면 코일 내부 쪽이다. 이 구분부터 하자.

Y결선은 코일 셋을 별 모양으로 잇는 것이다. 한쪽 끝을 한 점으로 모은다. 규칙은 다음과 같다.

쓰는 법 · 상전압 220볼트인 Y결선의 선간전압은 $220 \times 1.732$, 약 381볼트다.

Δ결선은 코일 셋을 삼각형으로 잇는 것이다. 규칙이 뒤집힌다.

쓰는 법 · 상전류 10암페어인 Δ결선의 선전류는 약 17.3암페어다.

3상 전력 식에도 $\sqrt{3}$이 붙는다.

쓰는 법 · 선간전압 380볼트, 선전류 10암페어, 역률 0.8이면 약 5.3킬로와트다.

여기서 $V$와 $I$는 선간전압과 선전류이다. 코일이 세 개인데 식에 $\sqrt{3}$ 하나만 붙는 이유는 세 상이 서로 120도 어긋나 있기 때문이다. 세 상의 전력을 다 더하면 단순히 3배가 아니라 $3 \times \cos 30^\circ$ 꼴로 정리되고, 이것이 $\sqrt{3}$이 된다. 유도 과정은 몰라도 된다. 다만 $\sqrt{3}$이 어디에, 왜 붙는지는 위 문장으로 붙들어 두라. 식의 $V$가 실효값이라는 점도 잊지 마라.

교류회로에서 반복되는 세 가지 실수

교류 단원에서 틀리는 답은 정해져 있다. 유형이 세 가지다. 하나씩 뜯어 보자.

첫째, 최댓값과 실효값을 섞는 것이다. 실효값 220볼트를 최댓값인 줄 알고 계산에 넣는다. 답은 1.414배 어긋난다. 이 착각이 생기는 까닭은 「220볼트」라는 숫자만 기억하고 그 숫자의 정체를 묻지 않기 때문이다. 실효값이 최댓값보다 작다는 사실을 못 박아 두자. 최댓값이 311볼트면 실효값은 약 220볼트다. 곱하면 커지고 나누면 작아진다. 방향만 헷갈려도 틀린다.

둘째, 리액턴스를 저항에 그냥 더하는 것이다. 저항 3옴과 리액턴스 4옴을 더해 임피던스 7옴이라 답하는 경우다. 정답은 5옴이다. 이 착각은 직류에서 「방해는 더한다」로 배웠기 때문에 생긴다. 그러나 저항과 리액턴스는 방향이 90도 다르다. 직각으로 붙어야 한다. 그래서 피타고라스를 쓴다. 선지에는 꼭 7옴이 들어 있다. 더한 값이 함정으로 깔려 있는 것이다. 계산 결과가 7이 나오면 한 번 의심하라. 5가 정답일 가능성이 크다.

셋째, Y와 Δ에서 $\sqrt{3}$의 자리를 뒤집는 것이다. Y에서 선전류에 $\sqrt{3}$을 붙이거나 Δ에서 전압에 붙이는 실수다. 정반대다. 이 착각은 「결선에는 어디엔가 √3이 붙는다」까지만 외우고 자리를 못 외웠기 때문에 생긴다. 문장 하나로 굳혀 두자. Y는 전압이 올라가고 Δ는 전류가 올라간다. 예를 들어 상전압 220볼트의 Y결선에서 선간전압은 약 381볼트다. 상전류에는 아무것도 곱하지 않는다.

셋의 공통점을 보라. 전부 「기준」을 흘려버린 데서 나온다. 값의 기준, 방향의 기준, 연결의 기준. 교류는 기준을 정해 놓고 시작하는 과목이다. 문제를 읽을 때 이 세 가지만 확인하는 습관을 들여라. 실수는 대부분 그 자리에서 걸러진다.

교류 값 대조표

지금까지의 결론을 표 하나에 모은다. 시험 직전에 이 표만 펴도 된다. 열은 항목 · 저항 · 코일 · 콘덴서다.

표를 세로로 읽어 보라. 저항의 열은 모두 안정적이다. 코일과 콘덴서의 열은 서로 정반대다. 뒤지고 앞서고, 커지고 작아지고, 통과하고 차단하고. 한쪽을 외우면 다른 쪽은 뒤집기만 하면 된다. 예를 들어 $X_L = 37.7$옴이던 코일이 주파수가 절반이면 18.85옴이 되는 식으로, 표의 규칙이 곧 계산 규칙이다.

계산 문제만 따로 모아 풀어 보라

교류 단원은 읽는 것으로 끝나지 않는다. 손을 움직여야 붙는 단원이다. 이유는 분명하다. 식은 짧은데 값의 종류가 많다. 최댓값인가 실효값인가, $X_L$인가 $X_C$인가, Y인가 Δ인가. 이 갈림길마다 계산을 한 번씩 해 봐야 몸에 붙는다.

복습법을 제안한다. 교류 계산 문제만 골라 묶어라. 유형별로 다섯 개씩이면 충분하다. 정현파 값 바꾸기, 리액턴스 계산, 임피던스와 역률, 공진 주파수, 3상 전력. 이 다섯 묶음이다. 예를 들어 임피던스 묶음에서는 $R = 3$, $X = 4$ 짝과 $R = 6$, $X = 8$ 짝을 번갈아 풀어 보라. 답이 5와 10으로 떨어지는 맛을 손이 기억하게 만드는 것이다.

풀 때는 두 가지만 확인하라. 식에 넣는 값이 실효값인가. 리액턴스를 더하지 않고 직각으로 붙였는가. 이 두 질문에 「예」라면 교류 계산의 절반은 이미 맞힌 것이다. 남은 절반은 √3의 자리다. 풀고 난 다음에는 틀린 문제의 유형 이름을 옆에 적어 두라. 다음에 같은 유형을 만나면 그 이름이 먼저 떠오른다. 이 단원은 새로운 것을 배우는 곳이 아니라 갈림길에서 길을 잃지 않는 곳이다. 길만 익히면 6문항에서 8문항이 곧 점수가 된다.