정전기와 콘덴서 — 담는 그릇의 원리

문항은 적은데 놓치면 손해가 큰 단원이다

정전기 단원은 시험에서 큰 비중을 차지하지 않는다. 전기이론 스무 문항 가운데 정전기와 콘덴서가 2~3문항 나온다. 그런데 이 단원은 버리면 손해다. 이유는 하나다. 나오는 꼴이 정해져 있다. 쿨롱의 법칙으로 힘을 구하는 문제, 콘덴서를 합성하는 문제, 저장 에너지를 구하는 문제. 이 세 가지가 거의 전부다. 공식도 아홉 개면 끝난다. 한나절을 투자하면 두세 문항이 확실하게 내 것이 된다. 투자한 시간에 비해 회수가 빠른 단원이 없다. 반대로 이 단원을 건너뛰면 아까운 이유도 같다. 개념이 좁고 반복이 심하므로, 남들이 맞히는 문항 두세 개만 나 혼자 틀리는 꼴이 된다. 예를 들어 6마이크로패럿과 3마이크로패럿을 병렬로 묶으면 9마이크로패럿이다. 이 한 줄을 아는 사람은 십 초 만에 한 문항을 가져간다. 모르는 사람은 아무리 시간을 부어도 답이 안 나온다. 이 글은 그 차이를 메우는 글이다. 콘덴서 합성은 저항과 거꾸로다. 그 한 가지만 뒤집혀 있고 나머지는 상식으로 따라간다.

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쿨롱의 법칙 — 거리가 두 배면 힘은 네 배로 줄어든다

전하 두 개 사이에는 힘이 작용한다. 같은 부호끼리는 밀고, 다른 부호끼리는 당긴다. 그 힘의 크기를 구하는 식이 쿨롱의 법칙이다. 식부터 세워 보자.

쓰는 법 · 전하 1쿨롱과 1쿨롱을 1미터 떨어뜨리면 $F = 9 \times 10^9 \times \frac{1}{1}$, 곧 90억 뉴턴의 힘이 작용한다.

이 식에서 정말 외워야 할 것은 앞의 숫자가 아니다. 분모에 $r^2$ 이 붙어 있다는 사실이다. 분모에 있으니 힘은 거리의 제곱에 반비례한다. 거리가 두 배가 되면 분모가 네 배가 되고, 힘은 4분의 1로 줄어든다. 거리가 세 배면 아홉 분의 일이다. 반대로 거리를 절반으로 줄이면 힘은 네 배로 커진다. 제곱으로 붙었으니 두 배는 곧 네 배라는 말이다. 식의 구조를 읽으면 숫자를 다시 대입해 가며 계산할 필요가 없다. 분자의 $Q_1 Q_2$ 도 마찬가지로 읽어라. 한쪽 전하가 두 배가 되면 힘도 두 배다. 곱으로 붙었으니 비례다. 밀고 당기는 방향은 부호가 정한다. 두 전하의 부호가 같으면 곱이 양수라 밀고, 다르면 음수라 당긴다. 식은 크기만 주고 방향은 부호가 준다.

감을 붙이기에 좋은 비유가 있다. 천장에 달린 전등에서 멀어질수록 눈에 띄게 어두워진다. 빛의 양도 넓은 면적에 흩어지면서 거리의 제곱으로 줄어든다. 쿨롱의 힘도 같은 꼴이다. 한 걸음 물러섰을 뿐인데 힘이 급격히 시든다. 시험에 나온 문항은 대개 이 지점을 노린다. 「두 전하 사이의 거리를 두 배로 하면 힘은 어떻게 되는가」. 답은 4분의 1이다. 식을 통째로 외우는 사람도 이 문항에서 헤맨다. 제곱이 분모에 붙어 있다는 구조를 본 적이 없기 때문이다. 식을 외우지 말고 읽어라.

전계는 힘의 방향이고 전위는 높이다

전계(전하가 받는 힘의 장)와 전위(단위 전하가 가진 위치에너지)를 가르는 것이 이 대목의 핵심이다. 두 말은 자주 섞여 나오므로, 처음부터 줄을 나눠 놓자. 전계는 힘이다. 방향이 있다. 벡터다. 양전하를 놓았을 때 밀리는 쪽이 전계의 방향이다. 전위는 높이다. 방향이 없다. 스칼라다. 그 지점에 1쿨롱을 올려놓으면 얼마의 에너지가 쌓이는가를 나타낸다.

언덕으로 비유하면 금방 감이 온다. 언덕의 높이가 전위다. 언덕의 기울기, 곧 발밑이 얼마나 급한지가 전계다. 공을 놓으면 기울기가 큰 쪽으로 힘차게 굴러간다. 높이 자체가 공을 굴리는 게 아니라 기울기가 굴린다. 같은 원리로, 전하를 밀어내는 것은 전위가 아니라 전계다. 전위가 높아도 그 지점이 평평하면(전계가 0이면) 전하는 힘을 받지 않는다. 식으로 세우면 이렇다. 전계의 세기는 단위 전하가 받는 힘이고, 전위는 단위 전하가 지닌 에너지다.

쓰는 법 · 0.002쿨롱의 전하가 받는 힘이 0.01뉴턴이면 $E = \frac{0.01}{0.002} = 5$ 볼트 매 미터다.

점전하가 만드는 전계는 쿨롱의 법칙에서 한쪽 전하를 나눠 주면 나온다. $E = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{r^2}$ 다. 쿨롱의 법칙과 똑같은 꼴에 분자의 전하가 하나로 줄었을 뿐이다. 그러므로 전계도 거리의 제곱에 반비례한다. 거리가 두 배면 전계도 4분의 1이다. 따로 외울 것이 아니다.

평행판 콘덴서를 보자. 두 판을 마주 놓고 전압을 걸면 판 사이에 고른 전계가 만들어진다. 이때 걸어 준 전압을 판 사이 거리로 나눈 것이 전계의 세기다. $E = \frac{V}{d}$ 다. 높이(전압)를 같게 하고 비탈의 길이(거리)만 짧게 만들면 기울기(전계)가 급해진다는 뜻이다. 예를 들어 100볼트를 걸고 판 사이가 0.01미터라면 전계는 $E = \frac{100}{0.01} = 10000$ 볼트 매 미터다. 분모에 거리가 있으니, 간격을 좁힐수록 같은 전압으로 더 센 전계를 만들 수 있다. 이 식은 다음 대목의 평행판 콘덴서와 바로 이어진다.

정전용량은 「얼마나 담을 수 있나」를 뜻한다

콘덴서(전하를 담아 두는 부품)의 성능은 정전용량 하나로 말한다. 정전용량은 「얼마나 담을 수 있나」를 뜻한다. 그릇의 크기다. 식은 짧다.

쓰는 법 · 100마이크로패럿짜리 콘덴서에 10볼트를 걸면 $Q = 100 \times 10^{-6} \times 10 = 0.001$ 쿨롱이 담긴다.

물탱크로 읽으면 감이 온다. 전압은 수압이다. 전하량은 담긴 물의 양이다. 수압이 같아도 배가 큰 탱크에 물이 더 많이 든다. 마찬가지로 전압이 같아도 정전용량이 큰 콘덴서에 전하가 더 많이 담긴다. 식에서 $C$ 가 곱으로 붙어 있으니 $Q$ 는 $C$ 에 비례한다. 용량이 두 배면 같은 전압에서 전하도 두 배다. 이 식을 $C = \frac{Q}{V}$ 로 쓰면 뜻이 더 분명해진다. 1볼트를 걸 때 얼마나 담기는가, 그 값이 곧 정전용량이다.

그럼 그릇의 크기는 무엇으로 정해지나. 평행판 콘덴서의 식이 답을 준다. $C = \varepsilon \frac{A}{d}$ 다. $A$ 는 판의 면적, $d$ 는 판 사이 간격, $\varepsilon$ 는 판 사이에 끼운 절연물의 성질이다. 면적은 분자에, 간격은 분모에 붙어 있다. 구조를 읽자. 면적이 넓을수록 담는 자리가 넓으니 용량이 커진다. 비례다. 간격이 넓을수록 반대쪽 판에 전하를 끌어당기는 힘이 약해지니 담는 양이 줄어든다. 반비례다. 예를 들어 면적을 두 배로 넓히면 용량은 두 배가 되고, 간격을 두 배로 벌리면 용량은 절반이다.

단위를 한번 짚고 가자. 정전용량의 단위는 패럿이다. 패럿은 몹시 큰 단위다. 1패럿이면 1볼트에 1쿨롱을 담는 그릇이다. 실제 부품은 그만큼 크지 않다. 그래서 마이크로패럿(백만 분의 일)과 피코패럿(일조 분의 일)을 쓴다. 시험에서 마이크로는 $10^{-6}$, 피코는 $10^{-12}$ 로 바꿔 쓴다. 이 환산에 익숙해져야 한다. 아홉째 대목에서 다시 다룬다.

콘덴서 합성은 저항과 정반대로 움직인다

이 단원의 최대 함정이 여기 있다. 콘덴서 여러 개를 묶으면 합성 용량이 나오는데, 계산 법이 저항과 정반대다. 저항은 직렬에서 그냥 더하고 병렬에서 역수를 합한다. 콘덴서는 병렬에서 그냥 더하고 직렬에서 역수를 합한다. 암기로만 넘기면 시험장에서 뒤집힌다. 이유를 알아야 굳는다. 이유는 물탱크로 다 나온다.

쓰는 법 · 6마이크로패럿과 3마이크로패럿을 병렬로 묶으면 $C = 6 + 3 = 9$ 마이크로패럿, 직렬로 묶으면 $\frac{1}{C} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ 이므로 $C = 2$ 마이크로패럿이다.

병렬이 더해지는 이유부터 보자. 병렬은 탱크를 나란히 늘리는 것이다. 모든 탱크에 같은 수압(전압)이 걸린다. 각 탱크가 제 용량만큼 따로 담는다. 그릇이 두 개면 담는 양도 그냥 합쳐진다. 그래서 병렬 합성은 단순 덧셈이다. 나란히 늘어난 그릇의 총 부피다.

직렬이 역수 합이 되는 이유는 다르다. 직렬은 그릇을 늘리는 게 아니라 하나의 그릇을 깊게 파는 것과 같다. 평행판 식 $C = \varepsilon \frac{A}{d}$ 를 떠올려라. 판 사이 간격 $d$ 가 분모에 있다. 직렬로 잇는다는 것은 결과적으로 판 사이의 거리를 늘리는 것과 같은 효과다. 간격이 커지면 분모가 커지고 용량은 줄어든다. 그래서 직렬로 묶은 합성 용량은 가장 작은 콘덴서보다도 작아진다. 6과 3을 직렬로 묶으면 2가 나오는데, 3보다 작다. 이 결과를 확인하는 습관을 붙여라. 계산한 값이 가장 작은 것보다 크게 나오면 뒤집은 것이다.

콘덴서 두 개만 직렬로 묶을 때는 약식이 있다. $C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ 다. 곱을 합으로 나눈다. 예를 들어 6과 3이면 $C = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2$ 마이크로패럿이다. 세 개 이상이면 약식을 쓰지 말고 역수 합으로 가라. 약식은 두 개일 때만 성립한다.

유전체를 끼우면 왜 용량이 커지나

평행판 사이는 비워 둘 수 없다. 반드시 절연물을 끼운다. 그 절연물을 유전체(전기를 통하지 않는 물질)라 부른다. 공기도 유전체고, 종이도, 필름도 유전체다. 이상한 일은, 도체도 아닌 절연물을 끼우면 오히려 담는 양이 늘어난다는 점이다. 도체를 끼우면 콘덴서가 아니게 되므로 절연물을 쓰는 것은 당연한데, 절연물이 용량을 키워 주기까지 하다니. 이유를 보자.

핵심은 분극(유전체 속에서 분자의 양극과 음극이 제각기 방향을 바꾸어 늘어서는 현상)이다. 유전체를 전계 안에 넣으면 그 속의 분자들이 방향을 바꾼다. 양전하 쪽이 음의 판을 향하고, 음전하 쪽이 양의 판을 향해 돌아선다. 늘어선 분자들이 판의 전하를 안쪽으로 끌어당긴다. 그 결과 판 사이의 전계가 약해진다. 같은 전압을 걸었을 때 전계가 약하다는 말은, 그 전압을 유지하는 데 더 많은 전하를 판에 쌓아 둘 수 있다는 뜻이다. $Q = CV$ 에서 $V$ 가 같고 $Q$ 가 늘었다는 것은 $C$ 가 커졌다는 말이다. 그래서 유전체를 끼우면 용량이 커진다.

이 정도를 수식으로 나타낸 것이 유전율이다. $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_s$ 다. $\varepsilon_0$ 는 진공의 유전율이고, $\varepsilon_s$ 는 비유전율(진공을 1로 놓고 잰 상대적 크기)이다. 진공이 1이고 공기도 거의 1이다. 그 외의 물질은 공기보다 크다. 크면 클수록 같은 판 면적과 간격에서 더 많이 담는다. $C = \varepsilon \frac{A}{d}$ 에서 $\varepsilon$ 이 곱으로 붙어 있으니 비유전율이 두 배면 용량도 두 배다. 물질별 수치는 자료마다 값이 조금씩 달라서 시험의 대상이 아니다. 「공기보다 크다」까지만 알면 된다. 예를 들어 비유전율 4인 유전체를 끼우면 진공일 때의 네 배 용량이 된다. 이 곱셈 구조만 익혀 두라.

콘덴서에 저장되는 에너지 — 식 세 개가 같은 말이다

콘덴서는 전하를 담는 그릇이고, 담긴 전하는 에너지로 저장된다. 그 에너지를 구하는 식이 세 꼴 나온다. 겉모습은 다른데 사실 같은 식이다. $Q = CV$ 를 이리저리 대입하면 세 꼴이 서로 바뀐다.

쓰는 법 · 100마이크로패럿에 10볼트를 걸면 $W = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times 10^2 = 0.005$ 줄이다.

첫째 식 $W = \frac{1}{2}CV^2$ 은 전압과 용량을 줬을 때 쓴다. 둘째 $\frac{1}{2}QV$ 는 전하량과 전압을 줬을 때, 셋째 $\frac{Q^2}{2C}$ 는 전하량과 용량을 줬을 때 쓴다. 무엇을 물었는지에 따라 골라 쓰면 된다. 문제가 준 값 두 개를 식에 그대로 넣을 수 있는 것을 고르라. 유도 과정을 굳이 외울 필요는 없지만 한번만 짚자. $Q = CV$ 에서 $V = \frac{Q}{C}$ 를 첫째 식에 대입하면 셋째가 나온다. 같은 관계를 다른 각도에서 쓴 것뿐이다.

구조도 읽어 두자. 첫째 식에서 $V$ 에 제곱이 붙어 있다. 그러므로 전압이 두 배가 되면 에너지는 네 배가 된다. 전압이 에너지에 미치는 영향은 크다. 셋째 식에서도 $Q$ 에 제곱이 붙어 있다. 전하량도 두 배면 에너지는 네 배다.

코일과 짝을 지어 묶으면 잊지 않는다. 코일에 쌓이는 에너지는 $\frac{1}{2}LI^2$ 다. 콘덴서는 전압의 제곱, 코일은 전류의 제곱이다. 「콘덴서는 전압, 코일은 전류」로 한 덩어리로 묶어라. 시험에서 두 식이 나란히 나오면 서로 바꿔 쓴 함정선지를 심어 둔다. 짝으로 기억한 사람은 안 넘어간다.

직렬 콘덴서의 내압 — 작은 쪽이 먼저 터진다

콘덴서마다 견딜 수 있는 최대 전압이 있다. 그 한도를 내압이라 부른다. 직렬로 묶은 콘덴서에서는 이 내압 문제가 특별한 꼴로 나타난다. 결론부터 말하면, 직렬에서는 용량이 작은 콘덴서에 전압이 더 많이 걸린다. 그래서 먼저 파괴되는 것도 늘 작은 쪽이다.

이유는 간단하다. 직렬 회로에서는 전하량이 같다. 물이 파이프 하나로 흐르면 어느 지점에도 흐르는 양이 같은 것과 같다. 콘덴서를 직렬로 잇으면 어느 콘덴서에도 똑같은 전하가 담긴다. 그런데 $Q = CV$ 에서 $V = \frac{Q}{C}$ 다. $Q$ 가 같으므로 $C$ 가 분모에 붙어 있다. 분모에 있으니 반비례다. 용량이 작을수록 전압이 크게 걸린다.

숫자로 보자. 6마이크로패럿과 3마이크로패럿을 직렬로 묶고 12볼트를 걸었다. 합성 용량은 2마이크로패럿이다. 담기는 전하량은 $Q = 2 \times 10^{-6} \times 12 = 24 \times 10^{-6}$ 쿨롱이다. 이 전하가 두 콘덴서에 똑같이 담긴다. 그러면 6마이크로패럿에 걸리는 전압은 $V = \frac{24}{6} = 4$ 볼트, 3마이크로패럿에는 $V = \frac{24}{3} = 8$ 볼트다. 두 배 작은 용량에 두 배의 전압이 걸렸다. 합이 12볼트인 것도 확인하라. 4 더하기 8은 12다.

시험에서는 이 성질을 뒤집어 묻는다. 「용량이 다른 두 콘덴서를 직렬로 연결하면 먼저 절연파괴되는 것은 어느 쪽인가」. 답은 용량이 작은 쪽이다. 이유까지 되짚을 수 있으면 만점이다. 전하량이 같고, 전압은 용량에 반비례하며, 그래서 작은 콘덴서에 전압이 집중된다. 실무에서 용량이 다른 콘덴서를 직렬로 묶을 때 조심하는 이유이기도 하다.

정전기 문제에서 가장 흔한 두 가지 실수

이 단원에서 틀리는 사람의 이유는 대개 둘 중 하나다. 하나는 콘덴서 합성을 저항처럼 계산하는 것이고, 다른 하나는 마이크로·피코 접두어를 지수로 옮기지 못하는 것이다. 둘 다 지식이 없어서가 아니라 습관이 틀렸기 때문이다.

첫째 실수부터 보자. 저항 문제를 먼저 많이 풀다 보면 손이 저항 법칙으로 굳는다. 직렬이면 더하고 싶어지고, 병렬이면 무조건 역수를 합하고 싶어진다. 이 습관이 콘덴서 문제에서 그대로 발동한다. 6마이크로패럿과 3마이크로패럿을 직렬로 묶는 문제에서 9를 고르는 사람이 많다. 틀린 계산이다. 직렬 합성은 $\frac{1}{C} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$ 이고 답은 2마이크로패럿이다. 9는 병렬의 답이다. 반대로 병렬 문제에서 $\frac{6 \times 3}{6 + 3} = 2$ 를 내는 것도 같은 병이다. 예방법은 하나다. 문제를 읽고 저항인지 콘덴서인지 확인한 다음에 손을 움직여라. 콘덴서라면 「병렬은 덧셈, 직렬은 역수」를 입 밖에 한 번 소리 내어 보라. 소리 내어 확인하는 사이 손이 멈춘다.

둘째 실수는 단위 환산이다. 마이크로는 $10^{-6}$ 이고 피코는 $10^{-12}$ 다. 그런데 계산기에 6을 치고 $\times 10^{-6}$ 을 누르지 않은 채 답을 내는 사람이 있다. 100마이크로패럿을 100으로 두고 10볼트를 곱하면 1000이 나온다. 쿨롱 단위로는 터무니없이 큰 값이다. 바른 계산은 $100 \times 10^{-6} \times 10 = 0.001$ 쿨롱이다. 왜 이런 착각이 생기나. 마이크로라는 말이 숫자 뒤에 붙어 있으니 「그냥 붙은 말」로 여기고 넘어가 버리기 때문이다. 접두어는 숫자다. 식에 옮길 때 반드시 지수로 바꿔 쓰라. 마이크로패럿 $C_1 = 6 \times 10^{-6}$ 처럼, 처음부터 지수 꼴로 적어 놓고 시작하는 습관이 약이다.

저항과 콘덴서를 나란히 놓은 대조표

지금까지 흩어져 있던 차이를 표 하나로 모으자. 직렬과 병렬만 뒤집혀 있고 나머지는 각자의 구조를 따른다.

표를 보면 저항과 콘덴서의 직렬·병렬 칸이 서로 엇갈려 있다. 이 엇갈림이 이 단원의 전부다. 그리고 직렬에서 같은 것도 저항은 전류, 콘덴서는 전하량으로 다르다는 점까지 함께 두면 앞의 내압 대목이 저절로 이어진다. 예를 들어 6과 3을 직렬로 묶으면 저항은 9, 콘덴서는 2다. 같은 숫자, 다른 결과. 이 하나만 기억해도 표의 절반은 산 것이다.

이 단원은 문제를 두 번 풀면 굳는다

정전기 단원은 공식 아홉 개로 끝나는 좁은 동네다. 좁은 동네는 한 번 훑고 마는 게 아니라 두 번 훑어야 내 땅이 된다. 복습법을 제안한다. 콘덴서 합성 문제만 골라 열 문항을 풀어라. 직렬과 병렬이 뒤섞인 문항으로 고르라. 열 문항을 풀고 나면 저항 법칙이 손에서 빠져나가고 콘덴서 법칙이 손에 붙는다. 그다음에 쿨롱의 법칙 문항과 에너지 문항을 각각 몇 문항씩 풀면 이 단원은 끝난다. 예를 들어 6마이크로패럿과 3마이크로패럿 문항 하나만 두 번 풀어도 직렬 2, 병렬 9는 몸에 박힌다. 이 단원의 문항은 꼴이 정해져 있으므로 두 번째 풀이에서 속도가 눈에 띄게 붙는다. 그 속도가 붙은 시점이 넘어갈 때다. 다음 대목은 이 콘덴서에 실제로 교류를 걸었을 때 벌어지는 일이다. 담는 그릇을 알았으니, 이제 그릇이 전기를 어떻게 막고 통하게 하는지 볼 차례다.