자기와 전자유도 — 오른손과 왼손의 구분

자기 단원은 전기이론에서 두 번째로 문항이 많다

자기와 전자유도는 전기이론에서 두 번째로 문항이 많은 단원이다. 한 회에 넉다섯 문항이 나온다. 전기이론 전체가 20문항 남짓이니 비중이 얼마인지 짐작이 갈 것이다. 이 단원에는 계산 문제만 있지 않다. 자계는 어느 방향인가, 힘은 어느 쪽으로 작용하는가, 유도전류는 어느 쪽으로 흐르는가 하는 방향 문제가 반드시 섞인다. 계산에만 매달리다가 방향 문제에서 점수를 잃는 수험자가 많다. 손가락 하나 세우는 문제이니 만만하게 보다가 틀리는 것이다.

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이 단원은 뒤에 나오는 직류기·변압기·유도전동기의 토대이다. 직류 전동기가 왜 돌아가는지, 변압기가 어떻게 전압을 바꾸는지, 유도전동기가 왜 회전자계를 쫓아가는지 전부 이 단원의 법칙 위에 서 있다. 지금 대충 넘기면 뒤에서 세 과목을 한꺼번에 다시 배우게 된다. 여기서 반듯하게 세워 놓으면 뒤의 단원은 공식 몇 개만 얹으면 끝난다. 그래서 이 단원은 시험 이후를 위해서라도 구조로 이해해야 한다.

자계와 자속 — 눈에 안 보이는 것을 세는 방법

자석 주위에는 보이지 않는 힘의 자리가 있다. 이를 자계(자석이 힘을 미치는 공간)라 부른다. 자계의 세기를 $H$ 로 쓰고 단위는 암페어턴 퍼 미터, 곧 AT/m 다. 다음으로 자속(자계를 따라 흐르는 자기의 양)이 있다. 기호는 $\Phi$, 단위는 웨버다. 그리고 자속밀도 $B$ 가 있다. 단위는 테슬라다. 셋을 한 줄로 정리하면 이렇다. 자계의 세기는 그 공간이 얼마나 센가이고, 자속은 그 공간을 지나가는 자기가 몇 가닥인가이고, 자속밀도는 단위 면적을 지나는 자기가 몇 가닥인가다.

비 오는 날 우산을 상상해 보라. 우산 위로 떨어지는 빗방울의 총 수가 자속이다. 우산 한가운데는 방울이 촘촘하고 가장자리는 성기다. 그 촘촘함이 자속밀도다. 우산을 반으로 접으면 같은 수의 방울이 좁은 면적에 떨어지니 밀도는 두 배가 된다. 자속이 같아도 면적이 줄면 자속밀도는 커진다. 이 그림 하나로 두 양의 차이가 잡힌다.

자속밀도와 자계의 세기를 잇는 식이 $B = \mu H$ 다. 여기서 $\mu$ 는 투자율(자기가 얼마나 잘 통하는지를 나타내는 값)이고, $\mu = \mu_0 \mu_s$ 로 놓는다. 공기 중에서는 투자율이 진공과 거의 같아서 $B$ 는 $H$ 에 비례한다고 봐도 무방하다. 예를 들어 자계가 100 AT/m 인 공간에서 자속밀도는 대략 밀리테슬라 단위의 값이 나온다. 이 비례 관계 하나만 기억해도 두 양을 섞는 실수는 줄어든다.

앙페르의 오른나사 법칙 — 전류가 흐르면 자계가 감는다

전류가 흐르면 주위에 자계가 생긴다. 방향은 오른나사 법칙이 정한다. 오른손 엄지를 전류 방향으로 뻗으면 나머지 네 손가락이 감기는 방향이 자계 방향이다. 나사를 돌려 짜맞춰 보면 안다. 나사가 들어가는 방향이 전류이고, 돌아가는 방향이 자계다. 전류가 위로 흐르는 도체를 앞에서 보면 자계는 시계 반대 방향으로 감긴다. 나사를 조이면 나사몸은 앞으로 나가고 홈은 오른쪽으로 도는 것과 같다.

직선 도체 주위의 자계 세기는 다음 식으로 구한다.

쓰는 법 · 전류가 10암페어이고 거리가 0.5미터이면 $H = \frac{10}{2\pi \times 0.5}$, 곧 약 3.18 AT/m 다.

분모의 $2\pi r$ 을 눈여겨보라. 이것은 도체를 둘러싼 원의 둘레다. 전류가 만든 자계의 총량을 원둘레로 나누니, 멀어질수록 자계가 약해지는 것이다. 분모에 있으니 거리에 반비례한다. 거리가 두 배면 자계는 절반이다. 식을 외우지 말고 분모를 읽어라. 원둘레가 분모다, 이 한 줄이면 직선 도체 식은 잊지 않는다.

코일 모양이 바뀌면 자계 식도 바뀐다

도체를 빙글빙글 감으면 코일이 된다. 모양에 따라 자계 식이 조금씩 달라진다. 그러나 뼈대는 하나다. 전류와 감은 횟수에 비례하고, 길이나 거리에 반비례한다. 이 구조만 잡으면 네 개의 식을 따로 외울 필요가 없다.

직선은 이미 보았다. 원형 코일의 중심은 다음 식이다.

쓰는 법 · 100번 감은 코일에 1암페어를 흘리고 반지름이 0.1미터면 중심 자계는 500 AT/m 다.

환상 솔레노이드(도넛 모양으로 감은 코일) 내부는 다음 식이다.

쓰는 법 · 200턴에 2암페어, 평균 자로 길이가 0.5미터면 자계는 800 AT/m 다.

무한장 솔레노이드(충분히 긴 직선 코일) 내부는 $H = \frac{NI}{l} = nI$ 이다. $n$ 은 단위 길이당 감은 횟수다. 환상의 $l$ 은 도넛 한 바퀴 둘레이고, 무한장의 $l$ 은 코일의 길이다. 어느 쪽이든 $NI$ 를 길이로 나눈 꼴이다. 원형 코일의 $2r$ 만 분모가 반지름으로 정해져 있고 나머지는 길이로 나눈다. 감은 횟수가 2배면 자계도 2배다. 전류가 2배여도 자계는 2배다. 분자에 붙은 것은 비례, 분모에 붙은 것은 반비례다. 식 네 개를 네 번 외우지 말고 이 한 규칙으로 통째로 읽어라.

자기회로는 전기회로와 한 줄씩 짝이 맞는다

자기회로는 전기회로를 베껴 놓은 것과 같다. 기자력(자속을 밀어내는 힘)이 기전력과 짝이다. 자속이 전류와 짝이다. 자기저항이 전기저항과 짝이다. 옴의 법칙에서 전압을 저항으로 나누면 전류가 되듯, 자기회로에서는 기자력을 자기저항으로 나누면 자속이 된다. 식은 $\Phi = \frac{F}{R_m}$ 이고, 기자력은 $F = NI$ 다. 감은 횟수에 전류를 곱한 것이 자기를 미는 힘이라는 뜻이다.

자기저항은 $R_m = \frac{l}{\mu A}$ 다. 전기저항이 길이에 비례하고 면적에 반비례하듯 자기저항도 그렇다. 다른 점은 분모에 도전율 대신 투자율이 앉았다는 것이다. 투자율이 큰 물질일수록 자기가 잘 통하니 자기저항이 작다. 그래서 분모에 있다. 자로가 길어지면 자기를 밀기 어렵고, 단면이 넓어지면 자기가 지나갈 길이 넓으니 저항이 줄어든다. 물탱크에서 물을 보내는 파이프를 생각해 보라. 파이프가 길면 흐름이 줄고 굵으면 흐름이 늘고, 파이프 벽이 매끄러우면 더 잘 흐른다. 투자율은 그 매끄러움에 해당한다. 예를 들어 같은 모양의 자로라도 감은 횟수를 두 배로 늘리면 기자력이 두 배가 되고 자속도 두 배로 늘어난다. 자기회로 문제는 옴의 법칙 문제를 자기 말로 바꿔 놓은 것이라고 보면 된다.

플레밍 왼손과 오른손 — 헷갈리지 않는 기준

이 단원에서 손을 두 번 쓴다. 왼손과 오른손이다. 기준을 지금 한 번 정하면 시험장에서 흔들리지 않는다. 왼쪽에 전동기, 오른쪽에 발전기를 앉혀 두라. 국어 사전을 펼치면 전동기의 전이 왼쪽에 있다. 이렇게 한 번 못 박아 두면 두 법칙을 바꿔 외우는 사고는 사라진다.

왼손은 전동기다. 힘을 구한다. 엄지는 힘의 방향, 검지는 자계의 방향, 중지는 전류의 방향이다. 도체에 전류가 흐르고 자계 속에 놓이면 도체는 힘을 받아 밀린다. 그 힘의 크기는 $F = BIl\sin\theta$ 다. 뉴턴이다. 자속밀도와 전류와 도체 길이를 곱한다. 세 양이 모두 직각일 때 힘이 가장 크고, 각도가 줄면 사인값만큼 줄어든다. 예를 들어 자속밀도 0.5테슬라인 곳에서 2미터 도체에 3암페어를 직각으로 흘리면 힘은 3뉴턴이다.

오른손은 발전기다. 전압을 구한다. 엄지는 도체의 운동 방향, 검지는 자계의 방향, 중지는 유도 기전력의 방향이다. 도체가 자계 속을 움직이면 전압이 생긴다. 크기는 $e = Blv\sin\theta$ 다. 볼트다. 자속밀도와 길이와 속도를 곱한다. 예를 들어 0.4테슬라 자계 속을 0.5미터 도체가 초당 5미터로 직각 움직이면 기전력은 1볼트다.

두 법칙의 갈림길은 하나다. 전기가 먼저면 왼손, 운동이 먼저면 오른손이다. 전동기는 전류를 넣어 힘을 얻고, 발전기는 움직여서 전압을 얻는다. 두 법칙을 바꿔 외우면 방향 문제 두 개를 한꺼번에 잃는다. 시험에는 꼭 이 지점을 노리는 문항이 들어간다. 왼손은 전동기. 이 여섯 글자를 손목에 새기듯 붙여 두라.

패러데이와 렌츠 — 변화가 있어야 전압이 생긴다

전자유도의 핵심은 한마디다. 자속이 변해야 기전력이 생긴다. 코일에 자석을 가만히 붙여 두면 아무 일도 없다. 아무리 강한 자석이라도 움직이지 않으면 전압은 0이다. 자석을 넣을 때, 빼낼 때, 돌릴 때 비로소 기전력이 생긴다. 식으로 쓰면 $e = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ 다. 자속의 변화량을 시간으로 나눈 것에 감은 횟수를 곱했다. 시간당 변화이니 변화가 빠를수록 기전력이 크다. 예를 들어 100턴 코일의 자속이 0.01초 동안 0.002웨버 줄면 기전력은 2볼트다.

앞의 마이너스 부호가 렌츠의 법칙이다. 생긴 기전력은 자속의 변화를 방해하는 방향으로 흐른다는 뜻이다. 자석을 코일에 넣으면 들어가는 것을 막으려는 방향으로 전류가 돈다. 빼면 나가는 것을 붙잡으려는 방향으로 돈다. 코일은 변화를 싫어하는 성질이 있다. 넣으면 반기지 않고 빼면 놓아 주지 않는다. 이 고집이 마이너스 부호다.

인덕턴스와 상호인덕턴스, 그리고 결합계수

자기인덕턴스(코일이 자기의 변화에 대해 보이는 저항의 크기)는 코일마다 붙는 성질값이다. 자기인덕턴스가 큰 코일일수록 전류 변화에 세게 반발한다. 이 성질 때문에 코일의 전류는 갑자기 바뀌지 않는다. 인덕턴스를 갖춘 코일에 흐르는 전류가 변하면 $e = -L\frac{\Delta i}{\Delta t}$ 의 기전력이 생겨 변화를 막는다. 시간당 전류 변화에 비례한다. 예를 들어 2헨리 코일에서 1초에 3암페어가 줄면 기전력은 6볼트다.

코일이 두 개 있고 한쪽 자속이 다른 쪽을 지나면 상호인덕턴스가 생긴다. 한쪽 전류가 바뀌면 다른 쪽에 기전력이 걸리는 것이다. 크기는 $M = k\sqrt{L_1 L_2}$ 다. 결합계수 $k$ 는 0과 1 사이의 값이다. 두 코일의 자속이 서로를 완전히 지나면 1에 가깝고, 따로 노는 자속이 많으면 0에 가깝다. 예를 들어 두 코일이 각각 4헨리이고 결합계수가 0.5이면 상호인덕턴스는 2헨리다.

두 코일을 한 자기회로에 접속하면 합성 인덕턴스가 나온다. 가동접속(두 코일이 서로를 도와주는 방향으로 감긴 접속)에서는 $L = L_1 + L_2 + 2M$ 이고, 차동접속(서로를 상쇄하는 방향의 접속)에서는 $L = L_1 + L_2 - 2M$ 다. $2M$ 의 부호가 갈리는 이유는 간단하다. 가동에서는 두 코일의 자속이 같은 방향으로 겹쳐 도와주고 차동에서는 반대 방향으로 겹쳐 깎아 없앤다. 도우면 더하고 방해하면 뺀다. 예를 들어 두 코일이 각 3헨리, 상호인덕턴스가 1헨리면 가동은 8헨리, 차동은 4헨리다.

코일에 쌓이는 에너지와 철에서 새는 손실

코일은 에너지를 자기에 실어 저장한다. 크기는 $W = \frac{1}{2}LI^2$ 다. 콘덴서의 $W = \frac{1}{2}CV^2$ 과 나란히 놓아 외우면 헷갈리지 않는다. 코일은 전류의 제곱에, 콘덴서는 전압의 제곱에 비례한다. 코일은 전류로, 콘덴서는 전압으로 에너지를 다스린다. 제곱으로 붙었으니 전류가 두 배면 저장 에너지는 네 배다. 예를 들어 2헨리 코일에 3암페어가 흐르면 쌓이는 에너지는 9줄이다.

코일에 철심을 넣으면 자기는 잘 통하지만 값이 든다. 손실이 두 가지 생긴다. 하나는 히스테리시스 손실이다. 철심이 자계의 방향을 따라 돌아서다가 뒤처져서 생기는 손실이다. 자석을 앞뒤로 계속 뒤집으면 철 덩어리가 방향 바꾸기를 따라 하지 못하고 늦어지는 것과 같다. 이 손실은 주파수와 최대자속밀도의 1.6제곱에 비례한다. 다른 하나는 맴돌이전류 손실이다. 철심 속에 생긴 전압이 철심 안에서 빙글빙글 도는 전류를 만들어 열로 새는 손실이다.

맴돌이전류를 줄이려고 철심을 얇은 판으로 쪼개 그 사이에 절연물을 바르는 것이다. 이것이 성층철심이다. 두께를 얇게 하면 맴돌이 도체 하나하나가 작아져 손실이 준다. 판을 자계 방향과 나란히 겹침으로써 자기의 길은 트이고 맴돌이 길만 끊는 셈이다.

자기 단원의 세 가지 함정

첫째 함정은 왼손과 오른손을 바꿔 쓰는 것이다. 문제지에 전동기라는 낱말이 보이는데 오른손을 펴는 경우다. 어처구니없어 보이지만 시험장의 긴장에서 자주 일어난다. 문제를 읽으며 전류가 먼저인지 운동이 먼저인지 입 밖에 소리 내어 확인하라. 전류가 먼저면 왼손이다. 이 확인 동작 한 번으로 이 함정은 넘어간다.

둘째 함정은 자계 $H$ 와 자속밀도 $B$ 를 섞는 것이다. 두 양 다 자기의 세기를 다루니 수험자가 같은 것으로 착각한다. 시험은 이 틈을 파고든다. $H$ 는 AT/m 이고 $B$ 는 테슬라다. 단위부터 확인하면 답이 갈린다. $B = \mu H$ 로 이어진다는 것, 곧 자속밀도는 자계에 투자율을 곱한 것이라는 것을 몸에 붙여 두라. 예를 들어 같은 자계라도 투자율이 큰 철심 안에서는 자속밀도가 훨씬 크다.

셋째 함정은 변화 조건을 빼먹는 것이다. 코일 근처에 강한 자석이 있다는 것만으로 기전력이 생긴다고 믿는 것이다. 기전력은 자속 크기가 아니라 자속 변화에서 나온다. 자석이 아무리 커도 멈춰 있으면 전압은 0이다. 문제에서 도체가 정지해 있다는 말을 찾으면 곧바로 기전력 0을 의심하라. 이 조건을 묻는 문항이 반복해 나오는 유형이다. 셋 다 이해가 아니라 확인 습관으로 막는다. 손 방향, 단위, 변화 유무. 문제를 읽을 때 이 세 가지를 확인하는 버릇이 이 단원의 실수를 대부분 지운다.

전기회로와 자기회로 대조표

자기회로를 전기회로와 나란히 놓으면 한눈에 짝이 보인다. 시험 전날 이 표 하나만 다시 보면 자기회로 문제의 뼈대가 돌아온다.

방향을 묻는 문제부터 골라 풀어 보라

이 단원의 복습은 계산이 아니라 방향 문제부터 시작하라. 오른나사로 자계 방향을 그리는 문제, 왼손으로 힘의 방향을 정하는 문제, 오른손으로 유도 기전력의 방향을 정하는 문제, 자석을 넣고 뺄 때 유도전류의 방향을 묻는 문제다. 네 가지를 종이 위에 손을 실제로 그려가며 열 개만 풀어 보라. 계산 문제는 식이 읽히면 실수가 줄지만 방향 문제는 손을 움직여 본 횟수만큼 정확해진다. 예를 들어 위로 흐르는 전류의 왼쪽 지점에서 자계가 앞인지 뒤인지 스스로 정해 보는 것만으로도 나사 법칙이 손에 익는다. 방향이 매끄러워지면 그다음에 계산 문제로 넘어가라. 이 순서로 정리한 수험자는 이 단원에서 점수를 놓치지 않는다.