복소수

관련 문항 5개

1. 문항 1 전기이론 · 교류회로

   복소수에 대한 설명으로 틀린 것은?

   1. 실수부와 허수부로 구성된다.
   2. 허수를 제곱하면 음수가 된다.
   3. 복소수는 A=a+jb의 형태로 표시한다.
   4. 거리와 방향을 나타내는 스칼라 양으로 표시한다.

   정답과 해설

   정답 4번

   복소수는 크기(실수부·허수부)와 방향을 모두 나타내는 벡터 양이지, 크기만 있는 스칼라 양이 아니므로 ④가 틀린 설명이다.

   풀이

   정답 근거: 복소수 $A=a+jb$는 크기(절댓값)와 방향(편각, 위상각)을 함께 갖는 벡터(페이저)량으로 표현되며, 교류 회로 해석에서 크기와 위상을 동시에 나타내기 위해 사용한다.

   따라서 '스칼라 양'이라는 설명은 틀렸다.

   오답 소거: 실수부·허수부로 구성된다는 것, 허수를 제곱하면 음수($j^2=-1$)가 된다는 것, $A=a+jb$ 형태로 표시한다는 것은 모두 복소수의 올바른 정의이다.

   핵심 공식: $j^2=-1$, 극형식 $A=|A|\angle\theta$. 암기팁: '복소수=크기+방향을 가진 벡터'라는 것을 스칼라와 구분해서 기억한다.

   처음이라면

   온도처럼 숫자 하나로 표현되는 것을 '스칼라(크기만 있는 양)'라고 해요. 반면 바람은 '세기'와 '어느 방향에서 부는지' 둘 다 필요하죠. 이렇게 크기와 방향을 함께 가진 것을 '벡터'라고 해요.

   복소수(실수부와 허수부로 이루어진 수)는 교류 회로에서 크기와 방향(위상)을 함께 나타내는 벡터(페이저) 양이에요.

   선택지를 하나씩 보면:

   ① 실수부 a와 허수부 b로 구성 → 맞는 설명

   ② 허수 j를 제곱하면 $j^2 = -1$, 즉 음수 → 맞는 설명

   ③ $A = a + jb$ 형태로 표시 → 맞는 설명

   ④ 크기만 있는 스칼라 양 → 틀림! 복소수는 방향까지 가진 벡터 양이에요.

   이런 문제가 나오면 → '스칼라 = 크기만, 벡터(복소수) = 크기 + 방향'을 떠올려서 스칼라라고 한 보기를 찾으세요.

   한 걸음 더

   복소수는 $A = a + jb$ (실수부 $a$ + 허수부 $b$) 형태이며, $j^2 = -1$이 성립한다. 복소수는 절댓값 $|A|$와 편각 $\theta$를 함께 갖는 벡터(페이저)량으로 교류 회로 해석에 사용된다. 따라서 '스칼라 양'이라는 ④가 틀린 설명이다.

   ①②③은 복소수의 기본 정의로 모두 옳다.

   이 유형 패턴: 복소수 개념 문제에서는 '스칼라 vs 벡터' 구분을 노린 함정이 자주 출제된다.

   시험 꿀팁: '복소수 = 크기 + 방향 = 벡터'로 암기하면 스칼라 관련 오답을 바로 잡을 수 있다.

   • 복소수
2. 문항 2 전기이론 · 교류회로

   $A_1=a_1+jb_1$, $A_2=a_2+jb_2$ 인 두 벡터의 차 A를 구하는 식은?

   1. $(a_1-a_2)+j(b_1-b_2)$
   2. $(a_1+a_2)-j(b_1+b_2)$
   3. $(a_1-b_1)+j(a_2-b_2)$
   4. $(a_1-b_1)-j(a_2-b_2)$

   정답과 해설

   정답 1번

   복소수 벡터의 뺄셈은 실수부끼리, 허수부끼리 따로 빼면 된다.

   풀이

   정답 근거: 복소수(벡터)의 뺄셈은 실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리 각각 빼서 계산한다: $A=A_1-A_2=(a_1+jb_1)-(a_2+jb_2)=(a_1-a_2)+j(b_1-b_2)$. 오답 소거: 나머지 보기들은 실수부와 허수부를 뒤섞거나 부호를 잘못 배치한 형태이다.

   핵심 공식: 복소수 뺄셈 $(a_1+jb_1)-(a_2+jb_2)=(a_1-a_2)+j(b_1-b_2)$, 덧셈도 같은 방식으로 계산한다.

   암기팁: '실수는 실수끼리, 허수는 허수끼리'라는 원칙만 지키면 복소수 사칙연산에서 실수 헷갈리지 않는다.

   처음이라면

   복소수(실수부와 허수부를 함께 표현하는 수)의 뺄셈은 사과는 사과끼리, 배는 배끼리 바구니를 나눠 담는 것처럼 종류별로 계산하면 됩니다.

   j가 붙은 부분(허수부)과 j가 없는 부분(실수부)을 나눠서 생각합니다.

   $A = A_1 - A_2 = (a_1 + jb_1) - (a_2 + jb_2)$

   실수부끼리 빼기: $a_1 - a_2$

   허수부끼리 빼기: $b_1 - b_2$

   합치면: $(a_1 - a_2) + j(b_1 - b_2)$

   이런 문제가 나오면 → j 없는 것끼리, j 있는 것끼리 각각 빼기를 떠올리세요.

   한 걸음 더

   복소수 뺄셈 공식: $(a_1 + jb_1) - (a_2 + jb_2) = (a_1 - a_2) + j(b_1 - b_2)$

   실수부끼리, 허수부끼리 각각 빼면 됩니다.

   ③, ④는 실수부와 허수부를 서로 뺀 것으로 종류를 뒤섞은 오답이고, ②는 뺄셈이 아닌 덧셈 형태입니다.

   이 유형 패턴: 벡터(복소수)의 덧셈·뺄셈은 항상 '실수부는 실수부, 허수부는 허수부'로 분리 계산.

   시험 꿀팁: j를 문자 기호처럼 취급해 묶어서 계산하면 실수 패널티를 막을 수 있습니다.

   • 복소수
3. 문항 3 전기이론 · 교류회로

   i=8+j6[A] 로 표시되는 전류의 크기는 몇 $[\text{A}]$인가?

   1. 64
   2. 8
   3. 10
   4. 14

   정답과 해설

   정답 3번

   복소수 전류의 크기는 √(실수부²+허수부²)， 즉 √(8²+6²)=10[A]이다.

   풀이

   복소수로 표시된 전류의 크기(절대값)는 실수부와 허수부를 직각삼각형의 두 변으로 보고 피타고라스 정리를 적용하는 공식 $|i|=\sqrt{a^2+b^2}$ 로 구합니다.

   $i=8+j6$ 을 대입하면

   $$|i|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\,[\text{A}]$$

   오답 소거

   • 1번(64): 실수부 8의 제곱값, 즉 $8^2=64$ 만을 그대로 답으로 착각한 값입니다.
     실수부와 허수부의 제곱합은 $64+36=100$ 이고, 거기에 제곱근($\sqrt{\,}$)까지 취해야 비로소 크기 10이 나옵니다.
   • 2번(8): 실수부 8만 보고 허수부 $j6$ 을 빠뜨린 값입니다.
     크기는 실수부·허수부 두 성분을 합친 빗변의 길이이므로 한쪽만 볼 수 없습니다.
   • 4번(14): 실수부와 허수부를 단순히 더한 $8+6=14$ 입니다.
     실수축과 허수축은 서로 90°(수직)를 이루므로 그냥 더하는 게 아니라 반드시 피타고라스 정리로 구해야 합니다.

   암기팁: 복소수 크기 = $\sqrt{(\text{실수부})^2+(\text{허수부})^2}$ — "6-8-10"은 직각삼각형 비 3:4:5를 2배한 것이니 숫자만 봐도 10이 바로 떠오르게 하세요.

   처음이라면

   전류를 8+j6처럼 복소수(실수부+허수부)로 나타낼 때, 그 크기(절대값)는 두 성분을 각각 밑변과 높이로 하는 직각삼각형의 빗변 길이입니다. 공식은 |i|=√(실수부²+허수부²)입니다.

   대입하면 |i|=√(8²+6²)=√(64+36)=√100=10[A]가 됩니다.

   실수축과 허수축은 서로 90°(수직)를 이루므로 그냥 더하면(8+6=14, ④) 안 되고 반드시 피타고라스 정리로 구해야 합니다. 8²=64만 보고 답하면 ①, 실수부 8만 보면 ②에 걸립니다. 나머지 오답도 같은 원리로 틀린 값입니다.

   이런 문제가 나오면 → '6-8-10'은 3:4:5 직각삼각형의 2배이므로 숫자만 보고 즉시 10[A]로 답하라.

   한 걸음 더

   |i|=√(8²+6²)=√100=10[A]

   복소수 크기는 피타고라스 정리로 구하며, 8+6=14처럼 단순 합은 수직인 두 성분을 그냥 더하는 오류이다(①④ 소거).

   이 유형은 3:4:5 비 숫자로 자주 출제된다.

   꿀팁: '실수²+허수²에 루트' — 6과 8을 보면 10이 바로 떠올라야 한다.

   • 복소수
4. 문항 4 전기이론 · 교류회로

   복소수 3+j4의 절대값은 얼마인가?

   1. 2
   2. 4
   3. 5
   4. 7

   정답과 해설

   정답 3번

   복소수 절대값은 |a+jb|=√(a²+b²)이므로 |3+j4|=√(9+16)=5이다.

   풀이

   정답 근거: 복소수 $Z=a+jb$의 절대값(크기)은 $|Z|=\sqrt{a^2+b^2}$이다.

   $|3+j4|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. 오답 소거: 실수부와 허수부를 단순히 더하면(3+4=7) 절대값과 혼동한 오답이 나온다.

   핵심 공식: $|a+jb|=\sqrt{a^2+b^2}$. 암기팁: 3-4-5 직각삼각형(피타고라스)을 떠올리면 즉시 답이 나온다.

   처음이라면

   복소수 3+j4를 좌표평면 위의 한 점으로 생각하면, 절대값(크기)은 원점에서 그 점까지의 거리입니다. 가로로 3, 세로로 4 움직인 지점이므로 피타고라스 정리(직각삼각형 빗변 구하기)로 거리를 구합니다.

   공식은 |a+jb| = √(a²+b²)입니다. 대입하면 |3+j4| = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5가 됩니다.

   ④ 7은 실수부와 허수부를 그냥 더한(3+4) 값으로, 절대값 공식을 쓰지 않은 대표적 오답입니다. 절대값은 '더하기'가 아니라 '각 성분 제곱의 합의 제곱근'임을 기억해야 합니다.

   이런 문제가 나오면 → 3-4-5 직각삼각형을 떠올려 √(9+16)=5를 즉시 쓰면 됩니다.

   한 걸음 더

   |a+jb| = √(a²+b²)이므로 |3+j4| = √(9+16) = √25 = 5.

   오답 7은 실수부+허수부(3+4) 단순 덧셈 오류고, 나머지 수치는 근거가 없다.

   복소수 크기는 피타고라스 정리(벡터 크기)와 동일 패턴으로 자주 출제된다.

   꿀팁: 3-4-5 직각삼각형이면 계산 없이 즉답한다.

   • 복소수
5. 문항 5 전기이론 · 교류회로

   $\dot A_1=A_1\angle\theta_1,\ \dot A_2=A_2\angle\theta_2$일 때 두 벡터의 곱 A를 구하는 식은?

   1. $A_1A_2\angle(\theta_1\theta_2)$
   2. $A_1A_2\angle(\theta_1+\theta_2)$
   3. $A_1+A_2\angle(\theta_1\theta_2)$
   4. $A_1+A_2\angle(\theta_1+\theta_2)$

   정답과 해설

   정답 2번

   극형식 벡터의 곱은 크기는 곱하고 위상각은 더한다: A₁A₂∠(θ₁+θ₂).

   풀이

   극형식(극좌표)으로 표시된 두 페이저(벡터)의 곱은 크기(절댓값)는 서로 곱하고, 위상각은 서로 더한다: $\dot A_1\dot A_2=A_1A_2\angle(\theta_1+\theta_2)$. 오답 소거: 크기를 더하거나 각도를 곱하는 보기는 페이저 연산 규칙과 맞지 않는다.

   암기: 페이저 곱셈 = 크기는 곱하고, 각도는 더한다 (나눗셈은 반대로 크기는 나누고 각도는 뺀다).

   처음이라면

   벡터를 극형식 A∠θ처럼 '크기와 각도'로 표시할 때 곱셈 규칙이 하나 있습니다. 바로 크기(절댓값)끼리는 곱하고, 각도(위상)는 서로 더하는 것입니다.

   예를 들어 5∠30°와 2∠20°를 곱하면 크기는 5×2=10, 각도는 30°+20°=50°가 되어 10∠50°가 됩니다. 곱셈인데 각도는 더하는 점이 이 연산의 핵심입니다.

   문제에 적용하면 Ā₁·Ā₂ = A₁A₂∠(θ₁+θ₂)가 됩니다. 크기를 더하거나(③,④) 각도를 곱하는(①,③) 형태는 극형식 곱셈 규칙에 어긋납니다.

   이런 문제가 나오면 → '곱셈: 크기 곱, 각도 합 / 나눗셈: 크기 나눔, 각도 차'로 통째로 암기하세요.

   한 걸음 더

   극형식 페이저의 곱은 크기는 곱하고 각도는 더한다. 즉 Ā₁Ā₂=A₁A₂∠(θ₁+θ₂).

   각도를 곱하거나(①) 크기를 더하는(③,④) 보기는 연산 규칙 위반이다.

   벡터의 곱·몫 계산은 이 규칙 하나로 끝나는 단순 패턴 문제다.

   꿀팁: '곱은 곱하고 더하고, 나눔은 나누고 뺀다' — ×(곱셈)과 +, ÷와 −를 세트로 외워라.

   • 복소수